[ANII]Volume intersezione sfera e cilindro
salve a tutti,avrei bisogno di un aiuto con un esercizio..
Calcolare il volume dell'intersezione della sfera $ x^2+y^2+z^2<=1 $ e del cilindro $ x^2+y^2-x<=0 $ .
$ |\Omega|=\int\int\int_\Omega 1 dxdydz $
Ricavo la $z$ da $ x^2+y^2+z^2<=1 $ e scrivo l'integrale come
$ 2\int\int_C(\int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}} dz)dxdy = 2\int\int_C \sqrt{1-x^2-y^2} dxdy $
passando in polari ottengo $0<= \rho<=\cos\theta$ mentre $ -pi/2<=\theta<=pi/2 $ , ottenendo cosi gli intervalli di $ C $ , quindi il mio integrale viene..
$ =2\int_{-pi/2}^{pi/2}\int_0^\cos\theta \sqrt{1-\rho^2} \rho d\rhod\theta $
purtroppo in questo modo non ottengo il risultato della soluzione...qualcuno può darmi una dritta??
grazie e spero di essere stato chiaro..
Calcolare il volume dell'intersezione della sfera $ x^2+y^2+z^2<=1 $ e del cilindro $ x^2+y^2-x<=0 $ .
$ |\Omega|=\int\int\int_\Omega 1 dxdydz $
Ricavo la $z$ da $ x^2+y^2+z^2<=1 $ e scrivo l'integrale come
$ 2\int\int_C(\int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}} dz)dxdy = 2\int\int_C \sqrt{1-x^2-y^2} dxdy $
passando in polari ottengo $0<= \rho<=\cos\theta$ mentre $ -pi/2<=\theta<=pi/2 $ , ottenendo cosi gli intervalli di $ C $ , quindi il mio integrale viene..
$ =2\int_{-pi/2}^{pi/2}\int_0^\cos\theta \sqrt{1-\rho^2} \rho d\rhod\theta $
purtroppo in questo modo non ottengo il risultato della soluzione...qualcuno può darmi una dritta??
grazie e spero di essere stato chiaro..
Risposte
Per me va tutto bene, non vedo errori.
Cosa è \(C\)?
"gugo82":
Cosa è \(C\)?
intendo l'insieme in cui integrare $dx dy$ e lo ricavo da $ x^2+y^2-x<=0 $
Bene.
E com'è fatto?
E com'è fatto?
"gugo82":
Bene.
E com'è fatto?
credo sia un cilindro che ha larghezza dipendente da $x$
"Gianni91":
[quote="gugo82"]Cosa è \(C\)?
intendo l'insieme in cui integrare $dx dy$ e lo ricavo da $ x^2+y^2-x<=0 $[/quote]
Quindi \(C\subset \mathbb{R}^2\)...
"Gianni91":
[quote="gugo82"]Bene.
E com'è fatto?
credo sia un cilindro che ha larghezza dipendente da $ x $[/quote]
E come fa un insieme del piano ad essere un cilindro?
"gugo82":
[quote="Gianni91"][quote="gugo82"]Cosa è \(C\)?
intendo l'insieme in cui integrare $dx dy$ e lo ricavo da $ x^2+y^2-x<=0 $[/quote]
Quindi \(C\subset \mathbb{R}^2\)...[/quote]
si
"gugo82":
E come fa un insieme del piano ad essere un cilindro?
intendevo un cerchio,stavo pensando in R^3 ancora
Oh, bene.
Ed allora quali sono centro e raggio di \(C\)?
E come lo parametrizzi \(C\) in polari?
Ed allora quali sono centro e raggio di \(C\)?
E come lo parametrizzi \(C\) in polari?
Per trovare il valore massimo di $ \rho $ sostituisco in $ x^2+y^2-x=0 $ ottenendo
$ \rho^2(\cos^2x+\sin^2x)=\rho \cosx \rightarrow \rho=\cosx $.
Essendo $ 0<=\rho<=\cosx $ considero il $ \cosx $ positivo quindi ottengo i valori di $\theta$ come $ -pi/2<=\theta<=pi/2 $
$ \rho^2(\cos^2x+\sin^2x)=\rho \cosx \rightarrow \rho=\cosx $.
Essendo $ 0<=\rho<=\cosx $ considero il $ \cosx $ positivo quindi ottengo i valori di $\theta$ come $ -pi/2<=\theta<=pi/2 $
Ok, hai ragione...
Avevo pensato che parametrizzare come facevi fosse più difficile, perché bastasse mettere il polo delle coordinate polari in \((1/2,0)\) (centro di \(C\)); però mi accorgo ora che l'integrando non te lo consente.
Quindi, con la tua parametrizzazione ottieni:
\[
\begin{split}
\iint_C \sqrt{1-x^2-y^2}\ \text{d} x\text{d}y &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\cos \theta} \sqrt{1-\rho^2}\ \rho \text{d}\theta \text{d}\rho\\
&= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ -\frac{1}{3}\ (1-\rho^2)\ \sqrt{1-\rho^2}\right]_0^{\cos \theta}\ \text{d} \theta\\
&= \frac{1}{3}\ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( 1-(1-\cos^2 \theta)\ \sqrt{1-\sin^2 \theta }\right)\ \text{d} \theta\\
&= \frac{1}{3}\ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( 1-(1-\cos^2 \theta)\ \sqrt{\sin^2 \theta }\right)\ \text{d} \theta\\
&= \frac{1}{3}\ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( 1-(1-\cos^2 \theta)\ |\sin \theta|\right)\ \text{d} \theta\; \ldots
\end{split}
\]
e qui si tratta di far bene i conti.
Avevo pensato che parametrizzare come facevi fosse più difficile, perché bastasse mettere il polo delle coordinate polari in \((1/2,0)\) (centro di \(C\)); però mi accorgo ora che l'integrando non te lo consente.
Quindi, con la tua parametrizzazione ottieni:
\[
\begin{split}
\iint_C \sqrt{1-x^2-y^2}\ \text{d} x\text{d}y &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\cos \theta} \sqrt{1-\rho^2}\ \rho \text{d}\theta \text{d}\rho\\
&= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ -\frac{1}{3}\ (1-\rho^2)\ \sqrt{1-\rho^2}\right]_0^{\cos \theta}\ \text{d} \theta\\
&= \frac{1}{3}\ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( 1-(1-\cos^2 \theta)\ \sqrt{1-\sin^2 \theta }\right)\ \text{d} \theta\\
&= \frac{1}{3}\ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( 1-(1-\cos^2 \theta)\ \sqrt{\sin^2 \theta }\right)\ \text{d} \theta\\
&= \frac{1}{3}\ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( 1-(1-\cos^2 \theta)\ |\sin \theta|\right)\ \text{d} \theta\; \ldots
\end{split}
\]
e qui si tratta di far bene i conti.
ho sbagliato la sostituzione..
$ \int\int_C \sqrt{1-x^2-y^2}\ \text{d} x\text{d}y = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\cos \theta} \sqrt{1-\rho^2}\ \rho \text{d}\theta \text{d}\rho $
sostituisco con $ 1-\rho^2=s $ e $ ds=-2\rho $
= $ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} -1/2\int_0^{\cos \theta} \sqrt{1-\rho^2}\ -2\rho \text{d}\theta \text{d}\rho $ =
= $-1/2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \text{d}\theta \int_1^{1-\cos^2 \theta} \sqrt{s} ds $
= $ -1/2 2/3 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (|sin^3\theta-1) \text{d}\theta $
= $ -1/3\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (|sin^3\theta|-1) \text{d}\theta $
ottengo da
$ 1/3\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 \text{d}\theta = pi/3 $
mentre da
$ -1/3\int_{-\pi/2}^{\pi/2} |sin^3\theta| \text{d}\theta = -4/9$
quindi = $ pi/3-4/9 $
moltiplicando poi per il $2$ che avevo davanti all'integrale di partenza ,ottengo
$ 2pi/3-8/9 $
grazie mille gentilissimo..
$ \int\int_C \sqrt{1-x^2-y^2}\ \text{d} x\text{d}y = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\cos \theta} \sqrt{1-\rho^2}\ \rho \text{d}\theta \text{d}\rho $
sostituisco con $ 1-\rho^2=s $ e $ ds=-2\rho $
= $ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} -1/2\int_0^{\cos \theta} \sqrt{1-\rho^2}\ -2\rho \text{d}\theta \text{d}\rho $ =
= $-1/2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \text{d}\theta \int_1^{1-\cos^2 \theta} \sqrt{s} ds $
= $ -1/2 2/3 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (|sin^3\theta-1) \text{d}\theta $
= $ -1/3\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (|sin^3\theta|-1) \text{d}\theta $
ottengo da
$ 1/3\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 \text{d}\theta = pi/3 $
mentre da
$ -1/3\int_{-\pi/2}^{\pi/2} |sin^3\theta| \text{d}\theta = -4/9$
quindi = $ pi/3-4/9 $
moltiplicando poi per il $2$ che avevo davanti all'integrale di partenza ,ottengo
$ 2pi/3-8/9 $
grazie mille gentilissimo..
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