Anello convergenza serie di Laurent
Ciao a tutti, dovrei calcolare l'anello di convergenza delle seguenti serie di Laurent:
1)$sum_(n=-oo)^(+oo)z^(2n)/5^(|n|)$
2)$sum_(n=-oo)^(+oo)z^(4n)/(1+e^(-4n))$
Per trovare l'anello di convergenza $A={z in CC | rho<|z|-oo}|a_n/a_(n+1)|$ e $R=lim_{n->+oo}|a_n/a_(n+1)|$ ma i risultati non mi tornano e non capisco perchè, non mi sembra un esercizio difficile...
Ad esempio nel primo calcolando i due limiti trovo come risultato $1/sqrt(5) $ per entrambi, che è chiaramente sbagliato, il risultato dovrebbe essere $1/sqrt(5)<|z|
1)$sum_(n=-oo)^(+oo)z^(2n)/5^(|n|)$
2)$sum_(n=-oo)^(+oo)z^(4n)/(1+e^(-4n))$
Per trovare l'anello di convergenza $A={z in CC | rho<|z|
Ad esempio nel primo calcolando i due limiti trovo come risultato $1/sqrt(5) $ per entrambi, che è chiaramente sbagliato, il risultato dovrebbe essere $1/sqrt(5)<|z|
Risposte
Un aiutino piccolo piccolo? 
Per il primo può essere utile osservare che \(|n+1| = - n - 1 = |n| - 1\) se \(n\) è negativo.
1) $R=lim_(n->+oo)5^(|n+1|)/5^|n|=lim_(n->+oo)(5^(|n|)5)/5^|n|=5$
$rho=lim_(n->-oo)5^(|n+1|)/5^|n|=lim_(n->-oo)5^(|n|-1)/5^|n|=1/5$
$1/5
2) Mi sono accorta che c'è un errore nel testo, la serie giusta è $sum_(n=-oo)^(+oo)z^(4n)/(1+e^(-4n))$, lo correggo anche nel primo messaggio..
$R=lim_(n->+oo)(1+e^(-4|n+1|))/(1+e^(-4|n|))=lim_(n->+oo)(1+e^(-4n)e^(-4))/(1+e^(-4n)) = lim_(n->+oo) (e^(-4n)e^(-4))/e^(-4n)=e^-4 $
(al posto del penultimo uguale avrei dovuto mettere il segno di equivalenza solo che non so come si fa )
$rho=lim_(n->-oo)(1+e^(-4|n+1|))/(1+e^(-4|n|))=lim_(n->-oo)(1+e^(-4n)e^4)/(1+e^(-4n)) = lim_(n->-oo) (e^(-4n)e^4)/e^(-4n)=e^4 $
ora qui mi fermo perchè se $rho$ mi viene maggiore di $R$ c'è qualcosa che non va...dove sbaglio?
Mi potresti dire se ci sono errori nella forma oltre che nel contenuto?perchè non vorrei perdere punti all'esame per delle imprecisioni..
$rho=lim_(n->-oo)5^(|n+1|)/5^|n|=lim_(n->-oo)5^(|n|-1)/5^|n|=1/5$
$1/5
2) Mi sono accorta che c'è un errore nel testo, la serie giusta è $sum_(n=-oo)^(+oo)z^(4n)/(1+e^(-4n))$, lo correggo anche nel primo messaggio..
$R=lim_(n->+oo)(1+e^(-4|n+1|))/(1+e^(-4|n|))=lim_(n->+oo)(1+e^(-4n)e^(-4))/(1+e^(-4n)) = lim_(n->+oo) (e^(-4n)e^(-4))/e^(-4n)=e^-4 $
(al posto del penultimo uguale avrei dovuto mettere il segno di equivalenza solo che non so come si fa
)$rho=lim_(n->-oo)(1+e^(-4|n+1|))/(1+e^(-4|n|))=lim_(n->-oo)(1+e^(-4n)e^4)/(1+e^(-4n)) = lim_(n->-oo) (e^(-4n)e^4)/e^(-4n)=e^4 $
ora qui mi fermo perchè se $rho$ mi viene maggiore di $R$ c'è qualcosa che non va...dove sbaglio?
Mi potresti dire se ci sono errori nella forma oltre che nel contenuto?perchè non vorrei perdere punti all'esame per delle imprecisioni..
Nel primo la conclusione non è del tutto corretta. Posto \(w=z^2\) hai che \(1/5 < |w| < 5\), dunque \(1/\sqrt{5} < |z| < \sqrt{5}\).
Nel secondo hai messo \(|n|\) nel calcolo dei limiti, ma in questo caso nei coefficienti c'è \(n\) e non \(|n|\); basta riscrivere i limiti corretti e tutto torna.
(Per la conclusione dovrai usare \(w=z^4\).)
Nel secondo hai messo \(|n|\) nel calcolo dei limiti, ma in questo caso nei coefficienti c'è \(n\) e non \(|n|\); basta riscrivere i limiti corretti e tutto torna.
(Per la conclusione dovrai usare \(w=z^4\).)
ok, poi mi sono accorta anche di un errore che ho fatto nelle equivalenze quando calcolavo $R$ quindi il secondo esercizio alla fine mi viene $e^(-1)<|z|<1$.
Grazie mille per l'aiuto
Grazie mille per l'aiuto
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