Ancora una domanda sulle serie telescopiche (esercizi)
Credo non mi sia chiaro come si arrivi al calcolo della somma delle serie telescopiche:
Ad esempio il professore ha svolto esempi su:
A) $\sum_(n>=0) 1/(n(n+1))$
B) $\sum_(n>=0) log(1+1/n)$
non chiedo la soluzione di esercizi dell'eserciziario per questo non provo ad impostarli perché in realtà il prof li ha svolti ma ho preso gli appunti malissimo e preferirei partire da zero.
Non ho compreso se vi sia una tecnica, perché mi pare il professore abbia esplicitato i termini semplificato trovandosi valori
1) $1-1/(N+1)$
2) $log(N+1)$
Di cui poi svolge il limite per N->infinito, e mi sfugge anche il perché possa fare tale limite per calcolare la somma della serie, perché da quanto ho appreso facendo il limite del termine generale della serie non equivale a calcolare la somma della serie (ovviamente) e in teoria 1 e 2 non sono riscritture del termine generale?
In poche parole non capisco perché quei risultati sarebbero l'espressione della successione delle somme parziali, solo così quel limite avrebbe senso. Ma non capisco perché esse le siano.
Su questa parte ho grandi dubbi.
Ad esempio il professore ha svolto esempi su:
A) $\sum_(n>=0) 1/(n(n+1))$
B) $\sum_(n>=0) log(1+1/n)$
non chiedo la soluzione di esercizi dell'eserciziario per questo non provo ad impostarli perché in realtà il prof li ha svolti ma ho preso gli appunti malissimo e preferirei partire da zero.
Non ho compreso se vi sia una tecnica, perché mi pare il professore abbia esplicitato i termini semplificato trovandosi valori
1) $1-1/(N+1)$
2) $log(N+1)$
Di cui poi svolge il limite per N->infinito, e mi sfugge anche il perché possa fare tale limite per calcolare la somma della serie, perché da quanto ho appreso facendo il limite del termine generale della serie non equivale a calcolare la somma della serie (ovviamente) e in teoria 1 e 2 non sono riscritture del termine generale?
In poche parole non capisco perché quei risultati sarebbero l'espressione della successione delle somme parziali, solo così quel limite avrebbe senso. Ma non capisco perché esse le siano.
Su questa parte ho grandi dubbi.
Risposte
Tieni conto che per esempio $1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)$
E anche $ln(1+1/n)=ln((n+1)/n)=ln(n+1)-ln(n)$
Va beh ma ci arrivava da solo dopo il mio bell'esempio 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Allora: una serie $\sum_{n=0}^(+\infty)a_n$ si dice telescopica se si riesce a trovare una successione $b_n$ tale che $a_n=b_n-b_(n-1)$ per ogni $n\inNN, n>=1$. Qual è l'utilità di questa definizione? È presto detto, infatti se devo determinare il carattere della serie $\sum_{n=0}^(+\infty)a_n$ devo fare il $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^na_k$, sapendo che è una serie telescopica come sopra si ha $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^na_k=\lim_{n\to+\infty}b_(n+1)-a_0$, quindi rimane solo da studiare $\lim_{n\to+\infty}b_n$. Osservazione stupida: ogni serie è telescopica: infatti posto $b_n=\sum_{k=0}^n a_n$ si ha $a_n=b_n-b_(n-1)$, ma in questo caso il limite non diventa più facile (è esattamente lo stesso!).
Questo per dire che la definizione è realmente utile se la $b_n$ che si trova si sa maneggiare, in particolare se ne deve saper calcolare in limite a $+\infty$.
Questo per dire che la definizione è realmente utile se la $b_n$ che si trova si sa maneggiare, in particolare se ne deve saper calcolare in limite a $+\infty$.
[EDIT]
Aspetta non ne sarei così certo
, considera che sono piuttosto ottuso. Ed è un eufemismo!
La cosa che mi viene in mente seguendo i vostri suggerimenti (simili) è che possa scrivere
$(1-1/2)+(1/2-1/3)+....(1/N-1/(N+1))$ da cui ad esempio fermandomi a 4 per non impazzire è che arrivo ad avere $(1-1/(N+1))$ poiché i termini si elidono a due a due.
Ed essendo $(1-1/2)+(1/2-1/3)+....(1/N-1/(N+1))$ una generica successione di somme parziali (che chiamo "SN") ho ottenuto proprio l'espressione analitica di $SN$ e quindi posso applicare la definizione $lim_(N->∞) SN$ che è la definizione di serie e trovo un valore finito.
Però c'è qualcosa che non mi convince se avessi capito correttamente i vostri preziosi consigli, per arrivare a $(1-1/(N+1))$ mi arresto sempre a un N=finito, cioè voglio dire 4, 10, 100 se fossi tenace, ma chi mi dice che arrestandomi a 1000 tutti i termini si elidano giungendo a $(1-1/(1000+1))$ non so se ho spiegato il dubbio che mi cruccia
grazie mille ragazzi
@otta96: ho provato a correggere i simboli di dollaro ma non riesco a capire dove ne hai saltato uno e non riesco a correggerlo per leggere il messaggio
perdonami ma non sono spigliato con il latex ancora
Spero in vostre risposte ancora e grazie
"axpgn":
Va beh ma ci arrivava da solo dopo il mio bell'esempio
Cordialmente, Alex
Aspetta non ne sarei così certo
, considera che sono piuttosto ottuso. Ed è un eufemismo!La cosa che mi viene in mente seguendo i vostri suggerimenti (simili) è che possa scrivere
$(1-1/2)+(1/2-1/3)+....(1/N-1/(N+1))$ da cui ad esempio fermandomi a 4 per non impazzire è che arrivo ad avere $(1-1/(N+1))$ poiché i termini si elidono a due a due.
Ed essendo $(1-1/2)+(1/2-1/3)+....(1/N-1/(N+1))$ una generica successione di somme parziali (che chiamo "SN") ho ottenuto proprio l'espressione analitica di $SN$ e quindi posso applicare la definizione $lim_(N->∞) SN$ che è la definizione di serie e trovo un valore finito.
Però c'è qualcosa che non mi convince se avessi capito correttamente i vostri preziosi consigli, per arrivare a $(1-1/(N+1))$ mi arresto sempre a un N=finito, cioè voglio dire 4, 10, 100 se fossi tenace, ma chi mi dice che arrestandomi a 1000 tutti i termini si elidano giungendo a $(1-1/(1000+1))$ non so se ho spiegato il dubbio che mi cruccia
grazie mille ragazzi
@otta96: ho provato a correggere i simboli di dollaro ma non riesco a capire dove ne hai saltato uno e non riesco a correggerlo per leggere il messaggio
perdonami ma non sono spigliato con il latex ancora
Spero in vostre risposte ancora
e grazie
Giusto per dire che ho sistemato i dollari nel messaggio precedente, grazie per avermelo fatto notare.
Sai che credo di non aver capito bene perchési riduca sempre a $\lim_{n\to+\infty}b_n$
E poi vorrei chiederti, ma all'atto pratico lo svolgimento che ho fatto io sarebbe quello corretto? E riguardo il dubbio di cui parlavo nel secondo post come lo giustifico?
Grazie ancora, a parte questo mi pare di aver capito le tue spiegazioni.Molto utile
"otta96":
$\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^na_k=\lim_{n\to+\infty}b_(n+1)-a_0$, quindi rimane solo da studiare $\lim_{n\to+\infty}b_n$.
E poi vorrei chiederti, ma all'atto pratico lo svolgimento che ho fatto io sarebbe quello corretto? E riguardo il dubbio di cui parlavo nel secondo post come lo giustifico?
Grazie ancora, a parte questo mi pare di aver capito le tue spiegazioni.Molto utile
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