Ancora una domanda sui limiti in due vriabili
Devo dire che questo tipo di limiti fatico ainteriorizzarlo nel concetto.
La mia domanda che vorrei porvi è su un caso grafico che non risco a comprendere come intuizione.
Vorrei analizzare la definizione seguente nel caso in cui $F(x):RR^2->RR^2$
Dalla def. di limite:
scriviamo $lim_(x->x_0) F(x)=l$ se per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0 t.c. ||x-x_0||<\delta => ||F(x)-l||<\epsilon$
Ora vorrei farvi vedere il dubbio, perché non capisco graficamente cosa mi voglia dire..
Ho preso un F(x) in nero minore di epsilon scelta a caso -per ogni- (purtroppo ho sbaglaito il disegno perché appare coincidente ma è dentro la palla di raggio epsilon).
Ammetiamo il suo limite sia l, l è un vettore (quello rosso).
Ora stando alla definizione di limite e faccio la differenza F(x)-l in norma risultaminore di epsilon solo fino a un certo punto, da un certo punto in poi non funziona più.
Quindi in tal caso non è un limite, però non risco a capire quando sia un limite, graficamente.
Probabilmente ho scritto molte stupidaggini, ma vorrei chiarirmelo meglio infatti
e vi scrivo per questo.
La mia domanda che vorrei porvi è su un caso grafico che non risco a comprendere come intuizione.
Vorrei analizzare la definizione seguente nel caso in cui $F(x):RR^2->RR^2$
Dalla def. di limite:
scriviamo $lim_(x->x_0) F(x)=l$ se per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0 t.c. ||x-x_0||<\delta => ||F(x)-l||<\epsilon$
Ora vorrei farvi vedere il dubbio, perché non capisco graficamente cosa mi voglia dire..
Ho preso un F(x) in nero minore di epsilon scelta a caso -per ogni- (purtroppo ho sbaglaito il disegno perché appare coincidente ma è dentro la palla di raggio epsilon).
Ammetiamo il suo limite sia l, l è un vettore (quello rosso).
Ora stando alla definizione di limite e faccio la differenza F(x)-l in norma risultaminore di epsilon solo fino a un certo punto, da un certo punto in poi non funziona più.
Quindi in tal caso non è un limite, però non risco a capire quando sia un limite, graficamente.
Probabilmente ho scritto molte stupidaggini, ma vorrei chiarirmelo meglio infatti
e vi scrivo per questo.
Risposte
"harperf":
Vorrei analizzare la definizione seguente nel caso in cui $F(x):RR^2->RR^2$
Giusto perché voglio capire bene anch'io: non è che il caso che vuoi studiare è invece $F(x):RR^2->RR$?
Ciao brancaleone
Nono vorrei proprio analizzare $R^2->R^2$ non ho sbagliato a scrivere. Mentre $R^2->R$ è abbastanza intuitivo io vorrei capire in questo caso specifico. La definizione di limite data dalmio libro è generica e dovrebbe valere anche per campi vettoriali (non solo scalari)
Quello che ho rappresentato è l'immagine, per rappresentare il dominio dovrei fare un cartesiano sempre di tipo $R^2$ Poiché ovviamente non è possibile rappresentare su una terna e men che meno sul piano una $F:R^2->R^2$,ma si possono spezzare dominio e codominio.
Spero di esser stato più chiaro sul dubbio, e grazie per il tuo interessamento!
Nono vorrei proprio analizzare $R^2->R^2$ non ho sbagliato a scrivere. Mentre $R^2->R$ è abbastanza intuitivo io vorrei capire in questo caso specifico. La definizione di limite data dalmio libro è generica e dovrebbe valere anche per campi vettoriali (non solo scalari)
Quello che ho rappresentato è l'immagine, per rappresentare il dominio dovrei fare un cartesiano sempre di tipo $R^2$ Poiché ovviamente non è possibile rappresentare su una terna e men che meno sul piano una $F:R^2->R^2$,ma si possono spezzare dominio e codominio.
Spero di esser stato più chiaro sul dubbio, e grazie per il tuo interessamento!
Fai bene a porti queste domande e la tua interpretazione grafica è sostanzialmente giusta. Attenzione al centro della pallina di raggio \(\epsilon\); esso dovrebbe essere su \(\ell\) e non nell'origine.
Grazie per la risposta dissonance, però il vettore l di componenti $(x,y)\inC$, con C codominio non dovrebbe sempre essere centrato nell'origine? In tal tipo di rappresentazione?
La scrittura \(|F(x)-\ell|\le \epsilon\), graficamente si interpreta come "il punto \(F(x)\) è interno alla circonferenza di centro \(\ell\) e raggio \(\epsilon\)".
Modifico l'immagine, dovrebbe essere la "Palla" blu centrata nel punto l.
DOvrebbe essere giusto ora, la tua risposta mi fa sorgere un'ultima domanda ulteriore, non capisco se interpretarli come punti o vettori applicati in O, F(x) e l.
DOvrebbe essere giusto ora
, la tua risposta mi fa sorgere un'ultima domanda ulteriore, non capisco se interpretarli come punti o vettori applicati in O, F(x) e l.
punti o vettori applicatiEh eh, buona domanda, da qui nasce molta geometria. Gli elementi di \(\mathbb R^n\) possono essere considerati come punti, vettori liberi o vettori applicati. Quale sia l'interpretazione migliore dipende dal contesto. Ad esempio, la differenza di due punti è generalmente da considerarsi come un vettore applicato; la differenza \(p-q\) rappresenta il vettore da sommare a \(q\) per raggiungere \(p\).
In questo contesto la cosa non è molto importante, lo diventa nella geometria degli "spazi affini", che poi si generalizza alla geometria delle "varietà differenziabili".
Capito, grazie dell'infarinatura.
Qualcosa che vedrò col tempo insomma
Qualcosa che vedrò col tempo insomma
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo