Ancora un limite di successione
Uff scusate se torno a rompervi, ma nonostante i tanti esercizi mi accorgo di non essere ancora capace con i limiti
Trovo tristemente la soluzione essere: e
Eppure ho pensato:
$lim_(n->∞) (n/(n-1))^(n+1)=lim_(n->∞) (n/(n(1-1/n)))^(n+1)=$ a questo punto avrei
$lim_(n->∞) (1/(1-0))^(∞)=$ che in realtà a detta del mio eserciziario sarebbe un limite fondamentale di successione
$lim_(n->∞) r^n=$ se r>1 sarebbe infinito, nel mio caso essendo r=1 ha come risultato 1! Einvece no!
Vorrei capire dove risiede l'errore perché la soluzione alla fine l'ho già vista tramite limite notevole e scomposizione.Solo non vedo dasola la pecca nel mio ragionamento.
Trovo tristemente la soluzione essere: e
Eppure ho pensato:
$lim_(n->∞) (n/(n-1))^(n+1)=lim_(n->∞) (n/(n(1-1/n)))^(n+1)=$ a questo punto avrei
$lim_(n->∞) (1/(1-0))^(∞)=$ che in realtà a detta del mio eserciziario sarebbe un limite fondamentale di successione
$lim_(n->∞) r^n=$ se r>1 sarebbe infinito, nel mio caso essendo r=1 ha come risultato 1! Einvece no!
Vorrei capire dove risiede l'errore perché la soluzione alla fine l'ho già vista tramite limite notevole e scomposizione.Solo non vedo dasola la pecca nel mio ragionamento.
Risposte
Ciao saretta:),
E' quasi immediato, prova a ricondurti al limite fondamentale $lim_{f(n) \to infty} (1 + frac{1}{f(n)})^{f(n)} = e $ osservando che si ha:
$frac{n}{n - 1} = frac{n - 1 + 1}{n - 1} = 1 + frac{1}{n - 1} $
E' quasi immediato, prova a ricondurti al limite fondamentale $lim_{f(n) \to infty} (1 + frac{1}{f(n)})^{f(n)} = e $ osservando che si ha:
$frac{n}{n - 1} = frac{n - 1 + 1}{n - 1} = 1 + frac{1}{n - 1} $
Ti ringrazio ma io devo essere stupida perché pur avendo capito la soluzione che mi dici, non riesco a capire dove sbaglio nel mio procedimento.
$lim_(n->∞) (1/(1-0))^(∞)=$ base 1, 1^∞=1
$lim_(n->∞) r^n=$ r=1 ha come risultato 1! (il libro asserisce essere fondamentale)
Il problema è che conoscendomi finché non capisco l'errore lo ripeterò di certo!
----------------
Poi vorrei chiederti un'altra cosa su quel limite che infatti mi crea dubbi.
Io so che $lim_(n->∞) (1+1/n)^n=e$ Ma a me sembra si possa risolvere anche con l'algebra estesa dei limiti: $lim_(n->∞) (1+0)^∞=1$
Spero di riuscire a risolvere questi due dubbi, in effetti sbaglio sempre questa tipologia, è evidente non afferri qualcosa della logica.
Ti ringrazio molto per l'aiuto di oggi, e scusami le domande stupide!
$lim_(n->∞) (1/(1-0))^(∞)=$ base 1, 1^∞=1
$lim_(n->∞) r^n=$ r=1 ha come risultato 1! (il libro asserisce essere fondamentale)
Il problema è che conoscendomi finché non capisco l'errore lo ripeterò di certo!
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Poi vorrei chiederti un'altra cosa su quel limite che infatti mi crea dubbi.
Io so che $lim_(n->∞) (1+1/n)^n=e$ Ma a me sembra si possa risolvere anche con l'algebra estesa dei limiti: $lim_(n->∞) (1+0)^∞=1$
Spero di riuscire a risolvere questi due dubbi, in effetti sbaglio sempre questa tipologia, è evidente non afferri qualcosa della logica.
Ti ringrazio molto per l'aiuto di oggi, e scusami le domande stupide!
"saretta:)":
Uff scusate se torno a rompervi, ma nonostante i tanti esercizi mi accorgo di non essere ancora capace con i limiti
Trovo tristemente la soluzione essere: e
Eppure ho pensato:
$lim_(n->∞) (n/(n-1))^(n+1)=lim_(n->∞) (n/(n(1-1/n)))^(n+1)=$ a questo punto avrei
$lim_(n->∞) (1/(1-0))^(∞)=$ che in realtà a detta del mio eserciziario sarebbe un limite fondamentale di successione
$lim_(n->∞) r^n=$ se r>1 sarebbe infinito, nel mio caso essendo r=1 ha come risultato 1! Einvece no!
Vorrei capire dove risiede l'errore perché la soluzione alla fine l'ho già vista tramite limite notevole e scomposizione.Solo non vedo dasola la pecca nel mio ragionamento.
Se \(r=1\), \[ \lim_{n \to \infty} r^n =1.\] Nota che \(r\) è costante. Quando calcoli cose del tipo (faccio un esempio simile al tuo) \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \]devi fare attenzione perché il termine che elevi alla \( n \) non è costante! Di fatto tu hai disaccoppiato il calcolo dei limiti; in maniera brutta sarebbe \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \left[ \lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right) \right]^{\lim_{n \to \infty} n } \]contemporaneamente, mentre nel tuo processo mentale hai calcolato prima \[ \lim_{ n \to \infty} 1 + \frac{1}{n} =1 \] e poi hai dedotto che \[ \lim_{n \to \infty} 1^n = 1^\infty = 1.\]Questo è sbagliato - non a caso si dice che \( 1^\infty\) è una forma indeterminata.
Si ha:
$ lim_{n \to +\infty} (n/(n-1))^(n+1) = lim_{n \to +\infty} (1 + 1/(n-1))^(n+1) = lim_{n \to +\infty} [(1 + 1/(n-1))^(n-1)]^{frac{n + 1}{n - 1}} = e^1 = e $
$ lim_{n \to +\infty} (n/(n-1))^(n+1) = lim_{n \to +\infty} (1 + 1/(n-1))^(n+1) = lim_{n \to +\infty} [(1 + 1/(n-1))^(n-1)]^{frac{n + 1}{n - 1}} = e^1 = e $
@pilloeffe: probabilmente il mio era un errore talmente sciocco che non era facile comprendere (proprio per quanto sia palese per voi capaci), credo che delirium abbia centrato il punto. Proprio non lo vedevo, almeno ora so dove sbagliavo. Grazie per aver postato anche lo svolgimento, ora so come è il modo corretto. Grazie per la pazienza.
@delirium: grazie per la chiarezza, sì, ora ho compreso l'errore.Spero di non farlo più
Grazie mille a tutti e due, ci sentiamo al prossimo dubbio
@delirium: grazie per la chiarezza, sì, ora ho compreso l'errore.Spero di non farlo più
Grazie mille a tutti e due, ci sentiamo al prossimo dubbio
Peraltro mi hai fatto venire in mente una cosa: con la forma indeterminata \( 1^\infty\) puoi avere sostanzialmente quasi tutti i comportamenti. Prova, come esercizio, a calcolare i seguenti limiti: \[ \lim_{n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{\log(n)} \right)^n \] e \[ \lim_{n \to \infty } \left( 1 - \frac{1}{\log(n)} \right)^n. \]
Puoi usare il trucco che pilloeffe ti ha suggerito qui.
Puoi usare il trucco che pilloeffe ti ha suggerito qui.
Uh grazie per i due esercizi, ci provo subito. Sono alla ricerca di qualunque limite, integrale, derivata in questo periodo.
Faccio domande stupide ma vi assicuro che ho finito praticamente l'eserciziario eppure ancora non sono per nulla capace....
Li svolgo e posto, spero avrai voglia poi di correggermeli, perché senza soluzioni sarò molto curiosa
1) $lim_(n->∞) (1+1/log(n))^n$ pongo t=log(n) ed essendo $lim_(n->∞) log(n)=∞$ si ha
$lim_(t->∞) ((1+1/t)^(t))^(e^t/t)=e^(e^t/t)=$ che per confronto di infiniti $e^∞=∞$
2) $lim_(n->∞) (1-1/log(n))^n=lim_(n->∞) (1+1/(-log(n)))^n=lim_(n->∞) ((1+1/(-log(n)))^(-log(n)))^(n/(-log(n)))=e^(-n/logn)=e^(-∞)=0$
Faccio domande stupide ma vi assicuro che ho finito praticamente l'eserciziario eppure ancora non sono per nulla capace....
Li svolgo e posto, spero avrai voglia poi di correggermeli, perché senza soluzioni sarò molto curiosa
1) $lim_(n->∞) (1+1/log(n))^n$ pongo t=log(n) ed essendo $lim_(n->∞) log(n)=∞$ si ha
$lim_(t->∞) ((1+1/t)^(t))^(e^t/t)=e^(e^t/t)=$ che per confronto di infiniti $e^∞=∞$
2) $lim_(n->∞) (1-1/log(n))^n=lim_(n->∞) (1+1/(-log(n)))^n=lim_(n->∞) ((1+1/(-log(n)))^(-log(n)))^(n/(-log(n)))=e^(-n/logn)=e^(-∞)=0$
Sono corretti! Nota che entrambi i limiti conducono a una forma indeterminata del tipo \( 1^\infty\), ma i risultati sono diversi.
In effetti una forma indeterminata vuol dire semplicemente che con l'algebra dei limiti non posso cavarmela in pratica.
Diciamo che è un "segnale" che vi va dell'altro.
Il fatto che 1 alla infinito fosse nelle successioni una forma notevole mi aveva portata fuori strada, perché quell' 1 alla infinito ha un altro significato nel contesto di 1=costante
Diciamo che è un "segnale" che vi va dell'altro.
Il fatto che 1 alla infinito fosse nelle successioni una forma notevole mi aveva portata fuori strada, perché quell' 1 alla infinito ha un altro significato nel contesto di 1=costante
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