Ancora un limite di funzione.....irrisolto
Sono di nuovo alle prese con un limite che dopo infinite trasformazioni non riesco a risolvere....vorrei evitare l' uso di taylor...se potete darmi una mano...
SIN(√x) + COS(√x) - e^(√x)
------------------------------------
LN(1 + x)
SIN(√x) + COS(√x) - e^(√x)
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LN(1 + x)
Risposte
Suppongo scritta in forma umana sia $(sin(sqrtx) + cos(sqrtx) - e^(sqrtx))/ln(1 + x)$
Ma manca a cosa tende...
Ma manca a cosa tende...
scusa...non so perchè l'ha scritto così...cmq x--->0
Innanzitutto direi che esiste solamente il limite destro, ovvero il lim x->0+, poichè vi è la radice quadrata di x
$lim_(x->0+)(sin(sqrt{x})+cos(sqrt{x})-e^sqrt{x})/ln(1+x)$ =
= $lim_(x->0+)(((sqrt{x}sqrt{x}sin(sqrt{x}))/(sqrt{x}sqrt{x}ln(1+sqrt{x}sqrt{x}))) + ((sqrt{x}sqrt{x}cos(sqrt{x}))/(sqrt{x}sqrt{x}ln(1+sqrt{x}sqrt{x}))) - (((e^sqrt{x}-1+1)sqrt{x}sqrt{x})/(sqrt{x}sqrt{x}ln(1+sqrt{x}sqrt{x}))))$
usando i limiti notevoli $lim_(a->0)(sin(a)/a)=1$, $lim_(a->0)(ln(1+a)/a)=1$, $lim_(a->0)((e^(a)-1)/a)=1$ possiamo ridurla così:
$lim_(x->0+)( (1/x) + (cos(sqrt{x})/x) - (1/x) )$ = $lim_(x->0+)(cos(sqrt{x})/x))$ = +infinito
ricontrolla se ci sono errori!!
$lim_(x->0+)(sin(sqrt{x})+cos(sqrt{x})-e^sqrt{x})/ln(1+x)$ =
= $lim_(x->0+)(((sqrt{x}sqrt{x}sin(sqrt{x}))/(sqrt{x}sqrt{x}ln(1+sqrt{x}sqrt{x}))) + ((sqrt{x}sqrt{x}cos(sqrt{x}))/(sqrt{x}sqrt{x}ln(1+sqrt{x}sqrt{x}))) - (((e^sqrt{x}-1+1)sqrt{x}sqrt{x})/(sqrt{x}sqrt{x}ln(1+sqrt{x}sqrt{x}))))$
usando i limiti notevoli $lim_(a->0)(sin(a)/a)=1$, $lim_(a->0)(ln(1+a)/a)=1$, $lim_(a->0)((e^(a)-1)/a)=1$ possiamo ridurla così:
$lim_(x->0+)( (1/x) + (cos(sqrt{x})/x) - (1/x) )$ = $lim_(x->0+)(cos(sqrt{x})/x))$ = +infinito
ricontrolla se ci sono errori!!
nono mi sa che non è proprio così...ho provato a tracciare il grafico con derive e il limite destro ( perchè come asserivi tu prima quello sinistro non esiste) va precisamente ad 1
No ZeroMermory, guarda che così non funziona... se lo volessi ridurre seguendo il tuo metodo troverei una forma inderminata del tipo $+\infty-\infty$...
Direi che è il classico esercizio che deve essere risolto usando le serie di Taylor... Sviluppando in 0, cioè usando le formule di McLaurin si trova abbastanza facilmente:
$\lim_{x\rarr 0^+}(sin(sqrt(x))+cos(sqrt(x))-exp(sqrt(x)))/ln(1+x)=\lim_{x\rarr 0^+}(sqrt(x)+xsqrt(x)/6+o(xsqrt(x))+1-x/2+o(x)-1-sqrt(x)-x/2+o(x))/(x+o(x))=$
$=\lim_{x\rarr 0^+}(-x+o(x))/(x+o(x))=-1$
Direi che è il classico esercizio che deve essere risolto usando le serie di Taylor... Sviluppando in 0, cioè usando le formule di McLaurin si trova abbastanza facilmente:
$\lim_{x\rarr 0^+}(sin(sqrt(x))+cos(sqrt(x))-exp(sqrt(x)))/ln(1+x)=\lim_{x\rarr 0^+}(sqrt(x)+xsqrt(x)/6+o(xsqrt(x))+1-x/2+o(x)-1-sqrt(x)-x/2+o(x))/(x+o(x))=$
$=\lim_{x\rarr 0^+}(-x+o(x))/(x+o(x))=-1$
esatto vabè questa è la soluzione....solo che io provavo a risolverla senza taylor...grazie mille cmq!!!
Beh, il problema di fondo è che per risolverlo con Taylor ho dovuto sviluppare fino al secondo ordine... il che naturalmente implica che è impossibile risolverlo con gli infinitesimi (perché con gli infinitesimi approssimi soltanto fino al primo ordine, e quindi non c'è modo).
L'unica altra soluzione che vedo è usare il teorema de l'Hopital e forse ti basta applicarlo anche solo una volta... ma è incredibilmente più faticoso che non usare Taylor...
L'unica altra soluzione che vedo è usare il teorema de l'Hopital e forse ti basta applicarlo anche solo una volta... ma è incredibilmente più faticoso che non usare Taylor...
maurer, grazie per la correzione...potrei chiederti però cosa ho fatto di illecito? mi faresti un grande favore a spiegarmelo!
a semplificazione del condo passaggio: il primo termine della somma dovrebbe diventare $1/(sqrt(x))$ e non $1/x$,mi sembra sia tutto lì.
Quello che dice Lazar è uno... poi lo stesso ripetuto nella semplificazione del terzo addendo... ma quello che sballa tutto è che ti sei dimenticato proprio un termine: da $((e^sqrt(x)+1-1)sqrt(x)sqrt(x))/(sqrt(x)sqrt(x)ln(1+sqrt(x)sqrt(x)))$ è diventato semplicemente $((e^sqrt(x)-1)sqrt(x)sqrt(x))/(sqrt(x)sqrt(x)ln(1+sqrt(x)sqrt(x)))$ invece di diventare $((e^sqrt(x)-1)sqrt(x)sqrt(x))/(sqrt(x)sqrt(x)ln(1+sqrt(x)sqrt(x)))+1/ln(1+x)$ (poi essendo il meno davanti a tutto questo addendo, si originava la forma indeterminata $+\infty-\infty$...
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