Ancora un integrale

[bad.alex]

scusate ma trovo difficoltà con il seguente integrale:
$ int ( 1/sin^6x) dx $....
sono un caso senza speranza:(

[Sk_Anonymous]

Prova a sostituire $sen\ x\ =\ e^t$ da cui $cos\ x\ dx\ =\ e^t dt\ =>\ dx = e^t/sqrt(1-t^2)*dt$
l'integrale si trasforma in quello più "umano": $inte^t/(e^(6t)*sqrt(1-e^2t))dt=int1/(e^(5t)*sqrt(1-e^(2t)))dt$ che puoi integrare per parti.

[ViciousGoblin]

Questo integrale non sembra una passeggiata ....

Io proverei così: dato che $sin^2x=\tan^2x \cos^2=\frac{\tan^2x}{1+\tan^2x}$, facendo la sostituzione $t=\tan x$ ottengo
$\int\frac{1}{sin^6 x} dx=\int\frac{\tan^6x}{(1+\tan^2x)^3} dx =\int\frac{t^6}{(1+t^2)^2}="integrale di funzione razionale..."$

Cè anche un altro modo, integrando per parti.

$\int\frac{1}{\sin^6(x)} dx=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^6(x)} dx=\int\cos(x)\frac{\cos(x)}{\sin^6(x)} dx+\int\frac{1}{\sin^4(x)} dx$

Il primo integrale si può affrontare per parti

$\int\cos(x)\frac{\cos(x)}{\sin^6(x)} dx=\cos(x)\frac{1}{-7\sin^7(x)}-\int\frac{-\sin(x)}{-7\sin^7(x)} dx= -\frac{\cos(x)}{7\sin^7(x)}-\int\frac{1}{7\sin^6(x)} dx$

e quindi tornando indietro

$(1+1/7)\int\frac{1}{\sin^6(x)} dx=-\frac{\cos(x)}{7\sin^7(x)}+\int\frac{1}{\sin^4(x)} dx$
A questo punto rimane da calcolare $\int\frac{1}{\sin^4(x)} dx$ (abbiamo scalato di due l'esponenente) - per questo si usa di nuovo lo stesso trucco ...

[bad.alex]

vi ringrazio per l'aiuto. alex