ANCORA troppo semplice
Seppur in differente contesto, pure lui mi pare un esercizietto troppo semplice per essere preso da un compito d'esame:
$int_0^1 (sin(pi x))/(1-x)^(3/2)$ dire se converge
Mi è bastato osservare che $ (sin(pi x))/(1-x)^(3/2) <= 1/(1-x)^(3/2)$ nell'intervallo considerato e applicare il teorema del confronto per dedurne la convergenza... ma anche qui temo di aver sbagliato qualcosa perchè è troppo immediato...
$int_0^1 (sin(pi x))/(1-x)^(3/2)$ dire se converge
Mi è bastato osservare che $ (sin(pi x))/(1-x)^(3/2) <= 1/(1-x)^(3/2)$ nell'intervallo considerato e applicare il teorema del confronto per dedurne la convergenza... ma anche qui temo di aver sbagliato qualcosa perchè è troppo immediato...
Risposte
mah..io penso che sei nel giusto
"GuillaumedeL'Hopital":
mah..io penso che sei nel giusto
Bhe alla faccia allora fanno degli esami semplici
veramente, $1/(1-x)^(3/2)$ non converge su (0,1)
(è infinito di ordine > 1 per x->1-)
$sin(pi x))/(1-x)^(3/2)$ è infinito di ordine $1/2$ per x ->1- , pertanto l'integrale converge.
(è infinito di ordine > 1 per x->1-)
$sin(pi x))/(1-x)^(3/2)$ è infinito di ordine $1/2$ per x ->1- , pertanto l'integrale converge.
intendevo nel giusto con il ragionamento
"Piera":
veramente, $1/(1-x)^(3/2)$ non converge su (0,1)
(è infinito di ordine > 1 per x->1-)
$sin(pi x))/(1-x)^(3/2)$ è infinito di ordine $1/2$ per x ->1- , pertanto l'integrale converge.
In effetti, facendo due conti con le primitive, hai ragione. Mi toccherà provare per parti, perchè non abbiamo studiato gli ordini degli infiniti...
Non ci credo manco io.... mi torna 
. Vi scrivo lo svolgimento così mi avvertite se ho scritto qualche eresia:
Sostituisco y = 1 - x ed ho
$-int_1^0 (sen(pi(1-y)))/y^(3/2) dy = int_0^1 (sen(pi(1-y)))/y^(3/2) dy$
Usando il confronto asintotico con f(x) = integranda e $g(x) = 1/y^(3/2)$ otteniamo
$lim_(y->0)(f(x))/(g(x)) = lim_(y->0)sen(pi(1-y)) = 0$
Quindi dato che $int_0^1 1/(y^(3/2))$ converge, possiamo concludere che l'integrale iniziale converge. Che bello
. Vi scrivo lo svolgimento così mi avvertite se ho scritto qualche eresia:Sostituisco y = 1 - x ed ho
$-int_1^0 (sen(pi(1-y)))/y^(3/2) dy = int_0^1 (sen(pi(1-y)))/y^(3/2) dy$
Usando il confronto asintotico con f(x) = integranda e $g(x) = 1/y^(3/2)$ otteniamo
$lim_(y->0)(f(x))/(g(x)) = lim_(y->0)sen(pi(1-y)) = 0$
Quindi dato che $int_0^1 1/(y^(3/2))$ converge, possiamo concludere che l'integrale iniziale converge. Che bello
$int_0^1 1/(y^(3/2))$ non converge, se non conosci gli infiniti lo puoi verificare con il calcolo diretto.
Sia $f(x)=(sin(pi x))/(1-x)^(3/2)$
$g(x)=1/(1-x)^(1/2)$
$lim_(x->1)(f(x))/(g(x))=pi$
Quindi dato che $int_0^1 1/(1-x)^(1/2))dx$ converge, possiamo concludere che l'integrale iniziale converge.
Sia $f(x)=(sin(pi x))/(1-x)^(3/2)$
$g(x)=1/(1-x)^(1/2)$
$lim_(x->1)(f(x))/(g(x))=pi$
Quindi dato che $int_0^1 1/(1-x)^(1/2))dx$ converge, possiamo concludere che l'integrale iniziale converge.
"Piera":
$int_0^1 1/(y^(3/2))$ non converge, se non conosci gli infiniti lo puoi verificare con il calcolo diretto.
Sia $f(x)=(sin(pi x))/(1-x)^(3/2)$
$g(x)=1/(1-x)^(1/2)$
$lim_(x->1)(f(x))/(g(x))=pi$
Quindi dato che $int_0^1 1/(1-x)^(1/2))dx$ converge, possiamo concludere che l'integrale iniziale converge.
grazie.P.S.
osso chiederti come hai individuato la g(X) giusta?
Ho osservato che
$lim_(x->1)(sin(pi x))/(1-x)=pi$
siccome $(1-x)^(3/2)=(1-x)^(1/2) (1-x)$,
prendendo $g(x)=1/(1-x)^(1/2)$
ottengo che il limite del rapporto tra $f(x)$ e $g(x)$ assume un valore finito e che quindi la f(x) si comporta come la g(x)
$lim_(x->1)(sin(pi x))/(1-x)=pi$
siccome $(1-x)^(3/2)=(1-x)^(1/2) (1-x)$,
prendendo $g(x)=1/(1-x)^(1/2)$
ottengo che il limite del rapporto tra $f(x)$ e $g(x)$ assume un valore finito e che quindi la f(x) si comporta come la g(x)
"Piera":
Ho osservato che
$lim_(x->1)(sin(pi x))/(1-x)=pi$
E come hai fatto a vederlo? A occhio, o hai usato qualche tipo di approssimazione? Te lo dico perchè negli esercizi il docente ci ha sempre preso delle g(x) ricavate approssimando f(x), con o senza Taylor...
ho applicato Hopital
"Piera":
ho applicato Hopital
Si per il limite me l'ero immaginato; io ero interessato a sapere come trovare la g(x) giusta, e deduco che te probabilmente hai individuato "a occhio" il limite notevole
Comunque questi integrali impropri rimangono una grande rogna; non sai mai cosa applicare, quale approssimazione usare per il confronto asintotico; poi magari riesci ad approssimare con Taylor ma non ricavi nulla comunque...
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