Ancora sull'unicità delle soluzioni di eq.differenziali
Propongo un esercizio che mi dà qualche difficoltà:
determinare tutte le soluzioni della $y'=2tsqrt(1-y^2)$.
E' chiaro che le funzioni costanti $y=+-1$ sono soluzioni. Separando le variabili inoltre si ottiene la famiglia $y_k(x)=sin(t^2+k), k\inRR$ (k indica una costante). Ce ne sono altre? Lungo le rette {$y=+-1$} non vale nessun teorema di unicità (sono punti di frontiera) e difatti le soluzioni costanti e quelle in $sin$ si intersecano allegramente, pur essendo distinte. Come procedere? grazie!
determinare tutte le soluzioni della $y'=2tsqrt(1-y^2)$.
E' chiaro che le funzioni costanti $y=+-1$ sono soluzioni. Separando le variabili inoltre si ottiene la famiglia $y_k(x)=sin(t^2+k), k\inRR$ (k indica una costante). Ce ne sono altre? Lungo le rette {$y=+-1$} non vale nessun teorema di unicità (sono punti di frontiera) e difatti le soluzioni costanti e quelle in $sin$ si intersecano allegramente, pur essendo distinte. Come procedere? grazie!
Risposte
Allego un grafico: il campo di pendenze dell'equazione per $t\in[-5,5]$ in rosso, il grafico di $y=sin(t^2)$ in nero. Quello che mi sfugge è se le funzioni ottenute "incollando" archi di sinusoide e rette $y=1, y=-1$ possano essere ulteriori soluzioni o meno. Mi riferisco all'altro topic, relativo a $y'=sqrt(|y|)$, dove succedeva proprio qualcosa del genere.
Rispondo a intuito, senza aver letto i calcoli. Secondo me, a destra di zero, solo i tratti "ascendenti" dei seni sono soluzioni valide - questo
perché la derivata deve essere positiva (a sinistra di zero il comportamento si inverte). Arrivati a 1 i seni si incollano alla costante e non si staccano più.
Il fatto che si incollino lo vedi osservando che dove il seno fa uno la sua derivata è zero e quindi proseguendo con la costante ottieni una funzione $C^1$.
Stesso discorso all'indietro, se arrivi all'ordinata $-1$, in un'ascissa positiva, lì ti incolli a $-1$ per le ascisse più piccole.
In questo modo le soluzioni che partono da $(x_0,y_0)$, con $-10$, non ho pensato bene a cosa succede
passando per zero). Se parti da $(x_0,-1)$ hai infinite soluzioni, dovendo tu decidere il momento $x_1\geq x_0$ in cui ti stacchi da $-1$ -- una volta che
ti sei staccato da $-1$ la soluzione è unica per tutti gli $x>x_1$.
Se parti da $(x_0,1)$ non hai unicità all'indietro (ripetendo all'indietro, almeno fono a $x=0$, i discorsi sopra).
Ho scritto , un po' in fretta, dei discorsi qualitativi che spero ti siano utili(e che spero non contengano errori).
perché la derivata deve essere positiva (a sinistra di zero il comportamento si inverte). Arrivati a 1 i seni si incollano alla costante e non si staccano più.
Il fatto che si incollino lo vedi osservando che dove il seno fa uno la sua derivata è zero e quindi proseguendo con la costante ottieni una funzione $C^1$.
Stesso discorso all'indietro, se arrivi all'ordinata $-1$, in un'ascissa positiva, lì ti incolli a $-1$ per le ascisse più piccole.
In questo modo le soluzioni che partono da $(x_0,y_0)$, con $-1
passando per zero). Se parti da $(x_0,-1)$ hai infinite soluzioni, dovendo tu decidere il momento $x_1\geq x_0$ in cui ti stacchi da $-1$ -- una volta che
ti sei staccato da $-1$ la soluzione è unica per tutti gli $x>x_1$.
Se parti da $(x_0,1)$ non hai unicità all'indietro (ripetendo all'indietro, almeno fono a $x=0$, i discorsi sopra).
Ho scritto , un po' in fretta, dei discorsi qualitativi che spero ti siano utili(e che spero non contengano errori).
@ViciousGoblinEnters
Mi sembrano qualitativamente convincenti
Mi sembrano qualitativamente convincenti
Il discorso è perfettamente convincente.
Il fatto è che ho preso l'esercizio da un libro, il Salsa-Pagani 1998, Analisi matematica II, pag. 229.
Cito:
Ma questo è un errore, visto che come faceva notare V.G.E. le soluzioni devono essere crescenti per $t>0$ e decrescenti per $t<0$?
P.S:Se questo fosse un errore, il colpevole sarebbe il metodo orang-utang?
Dico questo perché a quella soluzione si arriva dividendo brutalmente per $sqrt(1-y^2)$, senza tenere presente che deve essere $y!=+-1$. Si arriva a $arcsin(y(t))=t^2+c$, ma questo deve essere vero in un intervallo aperto t.c. $arcsin(y(t))$ non raggiunge massimo e minimo $+-pi/2$. Quindi quando invertiamo per arrivare a $y(t)=sin(t^2+c)$, questo sarà vero per $t^2+c!=pi/2+kpi$. Ovvero, la soluzione trovata è solo un arco di sinusoide, non tutta una sinusoide. Questa poi si raccorda in maniera liscia con le costanti, e non può cambiare la monotonia. Il resto segue come diceva V.G.E.: le soluzioni sono tutte di tipo: una retta, oppure una semiretta, un arco di sinusoide, un'altra semiretta. (a parte in un intorno di $t=0$ dove può esserci un cambio di monotonia).
[size=75](edit)tolto un "crescente" di troppo.[/size]
Il fatto è che ho preso l'esercizio da un libro, il Salsa-Pagani 1998, Analisi matematica II, pag. 229.
Cito:
Sia data l'equazione $y'=2tsqrt(1-y^2)$.
Le due rette $y=+-1$ sono soluzioni. Le altre sono date dalla formula
$int\frac{1}{sqrt(1-y^2)}\ dy =2intt\ dt+c$
ossia
$y=sin(t^2+c)$. (**)
Si noti che le rette $y=+-1$ costituiscono l'inviluppo della famiglia (**) come è facile verificare. Inoltre esse costituiscono la frontiera dell'insieme di definizione di $f(t,y)=2tsqrt(1-y^2)$ e pertanto non rientrano nella teoria ecc... (si riferisce ai teoremi di esistenza e unicità)
Ma questo è un errore, visto che come faceva notare V.G.E. le soluzioni devono essere crescenti per $t>0$ e decrescenti per $t<0$?
P.S:Se questo fosse un errore, il colpevole sarebbe il metodo orang-utang?
Dico questo perché a quella soluzione si arriva dividendo brutalmente per $sqrt(1-y^2)$, senza tenere presente che deve essere $y!=+-1$. Si arriva a $arcsin(y(t))=t^2+c$, ma questo deve essere vero in un intervallo aperto t.c. $arcsin(y(t))$ non raggiunge massimo e minimo $+-pi/2$. Quindi quando invertiamo per arrivare a $y(t)=sin(t^2+c)$, questo sarà vero per $t^2+c!=pi/2+kpi$. Ovvero, la soluzione trovata è solo un arco di sinusoide, non tutta una sinusoide. Questa poi si raccorda in maniera liscia con le costanti, e non può cambiare la monotonia. Il resto segue come diceva V.G.E.: le soluzioni sono tutte di tipo: una retta, oppure una semiretta, un arco di sinusoide, un'altra semiretta. (a parte in un intorno di $t=0$ dove può esserci un cambio di monotonia).
[size=75](edit)tolto un "crescente" di troppo.[/size]
Certo, è un errore.
Probabilmente indotto da una risoluzione dell'integrale fatta senza tenere conto delle condizioni imposte dalla equazione differenziale che si sta risolvendo.
Questi sono i rischi del metodo urang-utang©
Probabilmente indotto da una risoluzione dell'integrale fatta senza tenere conto delle condizioni imposte dalla equazione differenziale che si sta risolvendo.
Questi sono i rischi del metodo urang-utang©
Si, abbiamo scritto contemporaneamente...
Strano però, mi sembrava un libro così ben fatto...
Strano però, mi sembrava un libro così ben fatto...
Ho capito, io rispondevo alle prime righe del tuo post, senza sapere che avresti menzionato la scimmietta nel tuo P.S.
Quanto al Pagani - Salsa, non lo conosco. Ma un errore può ben capitare(*). Soprattutto se ci sono mucchi di esercizi.
Certo, la disciplina che impone la risoluzione corretta di una equazione a variabili separabili magari dà qualche chance in più di evitare questo tipo di errori.
E le cose che dici nel tuo P.S. sono ok.
[size=75](*) Vedi, per una conferma "osservativa":
https://www.matematicamente.it/forum/log ... tml#234421[/size]
Quanto al Pagani - Salsa, non lo conosco. Ma un errore può ben capitare(*). Soprattutto se ci sono mucchi di esercizi.
Certo, la disciplina che impone la risoluzione corretta di una equazione a variabili separabili magari dà qualche chance in più di evitare questo tipo di errori.
E le cose che dici nel tuo P.S. sono ok.
[size=75](*) Vedi, per una conferma "osservativa":
https://www.matematicamente.it/forum/log ... tml#234421[/size]
Morale della favola: fare sempre attenzione a separare le variabili. E' davvero facilissimo fare clamorosi errori, specialmente se non valgono teoremi di esistenza e unicità.
Grazie mille a F.Patrone e a V.G.E. : mi avete salvato da una probabile raffica di strafalcioni!
Grazie mille a F.Patrone e a V.G.E. : mi avete salvato da una probabile raffica di strafalcioni!
scusate, ma per tagliare la testa al toro, qualcuno potrebbe dimostrare che $ sin(t^2 + k) $ preso in un intorno lontano dalla x in cui vale (per la prima volta) $1$ non soddisfa l'equazione?
così potremmo finalmente trovare una falla del metodo u.u.!!
così potremmo finalmente trovare una falla del metodo u.u.!!
"ViciousGoblin":
Secondo me, a destra di zero, solo i tratti "ascendenti" dei seni sono soluzioni valide - questo
perché la derivata deve essere positiva
la teoria dei nostri amati libri di analisi urang utang ci dice che in generale dopo aver trovato la soluzione costante vado a considerare TUTTI gli intervalli in cui la funzione non si annulla, non gli intervalli in cui la derivata è costante.
non ho ragione?
"funny hill":
scusate, ma per tagliare la testa al toro, qualcuno potrebbe dimostrare che $ sin(t^2 + k) $ preso in un intorno lontano dalla x in cui vale (per la prima volta) $1$ non soddisfa l'equazione?
così potremmo finalmente trovare una falla del metodo u.u.!!
Ma è ovvio, per via della semplice considerazione fatta da Vicious Goblin, che negli intervalli in cui $ sin(t^2 + k) $ decrescono queste funzioni non possono essere soluzioni dell'equazione differenziale.
Riguardo alle falle nel metodo urang-utang©, questo non è altro che un'accozzaglia di sciempiaggini. Non c'è bisogno di cercare falle in una barca che fondo non ha (*). Tuttavia questo metodo, usato con l'arte necessaria, solitamente conduce alla soluzione o alle soluzioni. Purché la dea bendata volga il suo sguardo benevolo sull'empio.
(*) Cit. da "Se tu bagni il tuo piede in un lago". Cfr. http://www.youtube.com/watch?v=9dja8dTFjm0 o http://www.ildeposito.org/archivio/cant ... php?id=707
sono tornato un pò per caso in questo thread e me lo sono riletto o ci ho pensato di nuovo su:
dissonance sostiene di aver trovato un esempio in cui applicare urang utang ci porta in errore dicendo che:
consideriamo solo la funzione per $x>0$
questo non mi risulta, io direi che per la soluzione deve essere crescente per $t>0$ e $y!=1$ poichè per $y=1$ vediamo che $y'=0$, quindi escludo tutte i pezzi del seno per quei $t$ tali che ho oltrepassato quel $t0$ in cui la funzione vale 1.
dove sta quindi il problema?
la soluzione è $f(t)={(sin(t^2 + c),if tsqrt(Pi/2 - c)):}$
(non so perchè viene uno "/" prima del "Sin" e viene scritto in rosso, non fateci caso)
[xdom="dissonance"]Per evitarlo è sufficiente scrivere "sin", tutto minuscolo.[/xdom]
dissonance sostiene di aver trovato un esempio in cui applicare urang utang ci porta in errore dicendo che:
"dissonance":
. le soluzioni devono essere crescenti per $t>0$?
consideriamo solo la funzione per $x>0$
questo non mi risulta, io direi che per la soluzione deve essere crescente per $t>0$ e $y!=1$ poichè per $y=1$ vediamo che $y'=0$, quindi escludo tutte i pezzi del seno per quei $t$ tali che ho oltrepassato quel $t0$ in cui la funzione vale 1.
dove sta quindi il problema?
la soluzione è $f(t)={(sin(t^2 + c),if t
(non so perchè viene uno "/" prima del "Sin" e viene scritto in rosso, non fateci caso)
[xdom="dissonance"]Per evitarlo è sufficiente scrivere "sin", tutto minuscolo.[/xdom]
Ciao Giuseppe. Nel file linkato ( 
) sotto trovi come facevo io le equazione a variabili separabili ad analisi 1.
Non è farina del mio sacco - ho riportato a memoria il testo di una dispensa del prof. Antonio Marino risalente a fine anni ottanta (analisi 1 a Fisica)
https://www.dropbox.com/s/ggihx1k1eofel ... r.pdf?dl=0
) sotto trovi come facevo io le equazione a variabili separabili ad analisi 1.Non è farina del mio sacco - ho riportato a memoria il testo di una dispensa del prof. Antonio Marino risalente a fine anni ottanta (analisi 1 a Fisica)
https://www.dropbox.com/s/ggihx1k1eofel ... r.pdf?dl=0
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