Ancora sulle successioni..
Ho l'esame in vista...vorrei essere sicura!!!
Assumiamo che $a_n$$!=$$0$, $b_n$, $n$$in$$NN$ siano due successioni di numeri reali tali che esista il $lim$$(n->oo)$$a_n$$b_n$$=$$l$ $in$ $RR$ e che NON esista il $lim$$(n->oo)$$b_n$.
Cosa si può concludere sul $lim$$(n->oo)$$a_n$??Giustificare la risposta.
L'unica cosa che mi viene in mente è che $lim$$(n->oo)$$a_n$$=$$l$$=$$0$ e cioè che sia infinitesima..ad esempio se penso
al $lim$$(n->oo)$$(sen n)/n$ si ha che la successione $sen n $ non ha limite(ed è limitata) e $lim$$(n->oo)$$1/n$$=$$0$...
O ci sono altri teoremi(che non son riuscita a trovare) che affermano che se esiste il limite del prodotto non è detto che esista il prodotto dei limiti?
A chiunque venisse in mio soccorso grazie fin da subito...
Assumiamo che $a_n$$!=$$0$, $b_n$, $n$$in$$NN$ siano due successioni di numeri reali tali che esista il $lim$$(n->oo)$$a_n$$b_n$$=$$l$ $in$ $RR$ e che NON esista il $lim$$(n->oo)$$b_n$.
Cosa si può concludere sul $lim$$(n->oo)$$a_n$??Giustificare la risposta.
L'unica cosa che mi viene in mente è che $lim$$(n->oo)$$a_n$$=$$l$$=$$0$ e cioè che sia infinitesima..ad esempio se penso
al $lim$$(n->oo)$$(sen n)/n$ si ha che la successione $sen n $ non ha limite(ed è limitata) e $lim$$(n->oo)$$1/n$$=$$0$...
O ci sono altri teoremi(che non son riuscita a trovare) che affermano che se esiste il limite del prodotto non è detto che esista il prodotto dei limiti?
A chiunque venisse in mio soccorso grazie fin da subito...
Risposte
Nulla di universale. Il limite $\lim_{n \to \infty} a_n$ potrebbe anche non esistere. Considera, ad es., il caso delle successioni $\{a_n\}_{n \in NN}$ e $\{b_n\}_{n \in NN}$ definite ponendo $a_n = b_n = (-1)^n$, per ogni $n \in NN$. Evidentemente, nessuna delle due ammette limite per $n \to \infty$. Eppure $\lim_{n \to \infty} a_n b_n = 1$.
"nadine":
Ho l'esame in vista...vorrei essere sicura!!!
Assumiamo che $a_n$$!=$$0$, $b_n$, $n$$in$$NN$ siano due successioni di numeri reali tali che esista il $lim$$(n->oo)$$a_n$$b_n$$=$$l$ $in$ $RR$ e che NON esista il $lim$$(n->oo)$$b_n$.
Cosa si può concludere sul $lim$$(n->oo)$$a_n$??Giustificare la risposta.
L'unica cosa che mi viene in mente è che $lim$$(n->oo)$$a_n$$=$$l$$=$$0$ e cioè che sia infinitesima..ad esempio se penso
al $lim$$(n->oo)$$(sen n)/n$ si ha che la successione $sen n $ non ha limite(ed è limitata) e $lim$$(n->oo)$$1/n$$=$$0$...
O ci sono altri teoremi(che non son riuscita a trovare) che affermano che se esiste il limite del prodotto non è detto che esista il prodotto dei limiti?
A chiunque venisse in mio soccorso grazie fin da subito...
Non puoi concludere nulla.
Infatti prendi $a_n=-(-1)^n$ e $b_n=(-1)^n$: hai $AA n in NN, a_n*b_n=-1$ quindi il limite di $a_n*b_n$ esiste ($lim a_n*b_n=-1$) e però né $lim a_n$ né $lim b_n$ esistono.
D'altra parte, se prendi $b_n$ come sopra ed $a_n=1/n$, allora esiste il limite di $a_n*b_n$ (ed è nullo), il limite di $b_n$ non esiste e però $lim a_n=0$.
Se poi prendi ad esempio $b_n=2+(-1)^n$ ed $a_n=n$ hai $lim a_n*b_n=+oo$, $b_n$ non è regolare $lim a_n=+oo$.
Ancora, se prendi $b_n=(-2)^n$ ed $a_n=(-1)^n$, hai $lim a_n*b_n=+oo$ mentre non esistono né $lim a_n$ né $lim b_n$...
Di casi possibili ce ne sono tanti, puoi continuare da sola.
Segnalo però un fatto divertente:
Siano $(a_n), (b_n)$ successioni reali, con $a_nge 0$ per ogni $n in NN$.
Se $(b_n)$ è limitata e se $(a_n)$ è convergente in $RR$ allora risulta $minlim a_n*b_n=lima_n*minlimb_n$ e $minlim a_n*b_n=lima_n*minlimb_n$.
A me per la verità sembra che si possa dire che o $a_n\to0$ oppure
$(a_n)$ non ha limite. Infatti se fosse
$\lim_{n\to\infty}a_n=m\ne0$ allora potrei fare $\lim_{n\to\infty}1/{a_n}=1/m$ da cui
$\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}{a_nb_n}/{b_n}=\lim_{n\to\infty}a_nb_n\lim_{n\to\infty}1/{a_n}=l/m$ assurdo.
Se poi tu sapessi che $(b_n)$ è limitata, potresti dire che da $a_n\to0$ seguirebbe $l=0$; dunque se
$(b_n)$ è limitata e se $l\ne0$, $(a_n)$ non può avere limite.
$(a_n)$ non ha limite. Infatti se fosse
$\lim_{n\to\infty}a_n=m\ne0$ allora potrei fare $\lim_{n\to\infty}1/{a_n}=1/m$ da cui
$\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}{a_nb_n}/{b_n}=\lim_{n\to\infty}a_nb_n\lim_{n\to\infty}1/{a_n}=l/m$ assurdo.
Se poi tu sapessi che $(b_n)$ è limitata, potresti dire che da $a_n\to0$ seguirebbe $l=0$; dunque se
$(b_n)$ è limitata e se $l\ne0$, $(a_n)$ non può avere limite.
"ViciousGoblinEnters":
A me per la verità sembra che si possa dire che o $a_n\to0$ oppure $(a_n)$ non ha limite. Infatti se fosse $\lim_{n\to\infty}a_n=m\ne0$ allora potrei fare $\lim_{n\to\infty}1/{a_n}=1/m$ da cui $\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}{a_nb_n}/{b_n}= [...]$
In un altro tempo, avrebbero detto lapsus calami - sarebbe $\lim_{n\to\infty}\frac{b_n \cdot a_n}{a_n}$, right?
mmm...mmm...bene, bene...prendo nota di tutto!!!!Grazie...
...mmm...mmm
...mmm...mmm
"Gabriel":
[quote="ViciousGoblinEnters"]A me per la verità sembra che si possa dire che o $a_n\to0$ oppure $(a_n)$ non ha limite. Infatti se fosse $\lim_{n\to\infty}a_n=m\ne0$ allora potrei fare $\lim_{n\to\infty}1/{a_n}=1/m$ da cui $\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}{a_nb_n}/{b_n}= [...]$
In un altro tempo, avrebbero detto lapsus calami - sarebbe $\lim_{n\to\infty}\frac{b_n \cdot a_n}{a_n}$, right?[/quote]
mahh ... a me ad un certo punto (versol la prima liceo) hanno insegnato ad abolire il punto e a indicare la moltiplicazione semplicemente mediante
l'accostamento dei simboli. Riconosco che è ambiguo ma in questo caso la mente umana è in grado di sopravvivere - e comunque direi che è prassi
internazionalmente accettata.
viciously yours...
"ViciousGoblinEnters":
[quote="Gabriel"][quote="ViciousGoblinEnters"]A me per la verità sembra che si possa dire che o $a_n\to0$ oppure $(a_n)$ non ha limite. Infatti se fosse $\lim_{n\to\infty}a_n=m\ne0$ allora potrei fare $\lim_{n\to\infty}1/{a_n}=1/m$ da cui $\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}{a_nb_n}/{b_n}= [...]$
In un altro tempo, avrebbero detto lapsus calami - sarebbe $\lim_{n\to\infty}\frac{b_n \cdot a_n}{a_n}$, right?[/quote]
mahh ... a me ad un certo punto (versol la prima liceo) hanno insegnato ad abolire il punto e a indicare la moltiplicazione semplicemente mediante
l'accostamento dei simboli. Riconosco che è ambiguo ma in questo caso la mente umana è in grado di sopravvivere - e comunque direi che è prassi
internazionalmente accettata.
viciously yours...[/quote]
Veramente si riferiva al fatto che hai diviso per $b_n$ e non per $a_n$...
Veramente si riferiva al fatto che hai diviso per ...
per l'imbarazzo mi auto sospendo dal forum per una settimana
"ViciousGoblinEnters":
per l'imbarazzo mi auto sospendo dal forum per una settimana
Non è necessario, ci è sufficiente che ti inchiodi alla parete.
Certo che questo vostro essere così precisi e puntigliosi, mi tranquillizza molto!!!! 
Grazie davvero...e speriamo bene per il mio esame...così non vi angustierò con i miei quesiti(di Analisi I, ma passerò ad Analisi II.... )
Grazie davvero...e speriamo bene per il mio esame...così non vi angustierò con i miei quesiti(di Analisi I, ma passerò ad Analisi II....
)
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