Ancora sulle disuguaglianze

[Sk_Anonymous]

Domando conferme intorno allo svolgimento del seguente:

Sia \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) una successione reale che verifica \(\displaystyle a_{1} > 1 \) e \(\displaystyle a_{1} + a_{2} + ... + a_{n-1}1 \) tale che \(\displaystyle a_{n} > q^{n} \) per ogni \(\displaystyle n \ge 1 \).

Tralascio il caso in cui \(\displaystyle n=1 \).
Se \(\displaystyle n=2 \) si ha che \(\displaystyle 1 \sum_{k=1}^{n-1} a_{k} > n-1 >1 \).
A questo punto, sfruttando lo stesso ragionamento che si utilizza nella teoria dei limiti, assumo un \(\displaystyle \epsilon\) infinitamente piccolo ma positivo tale che \(\displaystyle 1+\epsilon >1 \) e pongo \(\displaystyle q=1+\epsilon \) in modo che risulti \(\displaystyle n-1>(1+\epsilon)^{n} \quad \forall \ n \in \mathbb{N^{*}} \).
Può andare?

Ringrazio.

[Principe2]

Non credo che esista un tale $\varepsilon$...

[Sk_Anonymous]

Effettivamente è un ragionamento un po' forzato perché si fonda de facto sul presupposto che \(\displaystyle \epsilon \) sia infinitamente piccolo, e quindi in qualche modo "elastico" in modo tale da far variare \(\displaystyle q \), seppur in maniera infinitesima. Eppure non mi viene in mente altro.

[Principe2]

quell'$\epsilon$ non puo' esistere perche $(1+\varepsilon)^n$ cresce in maniera esponenziale e quindi sara' definitivamente maggiore di $n+1$.

Hint: $a_1a_2+a_1\ge2a_1$. Poi $a_4>a_3+a_2+a_1\ge 4a_1$... Dovresti intuire che, per induzione, uno trova qualcosa del tipo $a_n>2^{n-2}a_1$, che e' addirittura piu' forte di quello che vuoi.

[dissonance]

Propongo una soluzione alternativa, più per curiosità che per altro. Consideriamo la successione \(b_n\) definita ricorsivamente da

\[\begin{cases} b_n=\sum_{i=1}^{n-1}b_i \\ b_1=1 \end{cases}\]

Confrontando con la \(a_n\), che verifica le relazioni

\[\begin{cases} a_n > \sum_{i=1}^{n-1}a_i \\ a_1>1 \end{cases}\]

appare evidente che \(a_n>b_n\) per ogni indice \(n\). Le condizioni su \(b_n\) si possono riscrivere come

\[(*) \begin{cases} b_{n+1}=b_n+b_{n-1} \\ b_1=1\end{cases} \]

perciò \(b_n\) è una successione di Fibonacci ed è noto che tali successioni crescono esponenzialmente. Concludiamo che anche \(a_n\) cresce esponenzialmente.

***

In realtà il ricorso alle troppo note successioni di Fibonacci è completamente evitabile. Basta dimostrare direttamente che la soluzione della (*) deve essere una successione con crescita esponenziale, ed è un fatto noto.

[Sk_Anonymous]

Grazie a tutti.