Ancora sulla massimizzazione vincolata

[lemming78]

Ciao a tutti, stavolta arrivo con un problema credo di più facile comprensione ma di più difficile svolgimento. Copio il testo direttamente:)

The problem of maximization for $C_t$ for any given expenditure level

$\int_0^1P_t(i) C_t(i) di -= Z_t$

can be formalized by means of the Lagrangean

$\Lambda = [ \int_0^1 C_t(i)^(1-\frac{1}{epsilon})di]^\frac{epsilon}{epsilon-1} - \lambda(\int_0^1P_t(i) C_t(i) di - Z_t )$

Ecco il punto focale ora: the associated first-order conditions are

$C_t(i)^-\frac{1}{epsilon} C_t^\frac{1}{epsilon} = \lambda P_t(i)$ for all $i in [0,1]$

$C_t= [ \int_0^1 C_t(i)^(1-\frac{1}{epsilon})di]^\frac{epsilon}{epsilon-1}$ è un indice di consumo del bene i-esimo nel tempo t. Si assume l'esistenza di un continuum di beni rappresentato dall'intervallo [0,1].

P = prezzo al tempo t del bene i-esimo
C = consumo al tempo t del bene i-esimo

Domande:
1) perchè all'interno di $C_t$ ci sono due esponenti, uno dentro l'integrale, e uno fuori, che sono uno l'inverso dell'altro? Cioè qual'è lo scopo di questa operazione?
2) Quali sono i passaggi per derivare rispetto a $C_t(i)$ l'equazione $\lambda$? Io ci ho provato, ma se ricordo bene la derivata di un integrale è la funzione stessa..

Spero ci siano tutti gli elementi per rispondermi:)

[Quinzio]

Scusami sai, ma si definisce prima:
$\int_0^1P_t(i) C_t(i) di -= Z_t$

poi si da:

$\Lambda = [ \int_0^1 C_t(i)^(1-\frac{1}{epsilon})di]^\frac{epsilon}{epsilon-1} - \lambda(\int_0^1P_t(i) C_t(i) di - Z_t )$

però l'espressione dentro la parentesi (la parentesi moltiplicata per $\lambda$) è zero.

perchè $\int_0^1P_t(i) C_t(i) di - Z_t = 0$

o tu copi male dal libro, o io non sto capendo nulla (facile) o il libro è assurdo (difficile).

[lemming78]

Guarda io ho ricontrollato e non ho copiato male dal libro, che per inciso è questo:
"[Jordi_Gali]_Monetary_Policy,_Inflation"..
comunque assumiamo che l'espressione per la quale è moltiplicato lambda non sia 0, come si va avanti? Cioè come si derivano quelle funzioni per $C_t(i)$

[Sk_Anonymous]

"lemming78":
Perchè all'interno di $C_t$ ci sono due esponenti, uno dentro l'integrale, e uno fuori, che sono uno l'inverso dell'altro? Cioè qual'è lo scopo di questa operazione?

Questo puoi saperlo solo tu. Voglio dire, il loro significato si può evincere solo dal modello economico che stai studiando. Dovrebbe essere spiegato nel tuo manuale di riferimento.

"lemming78":
Quali sono i passaggi per derivare rispetto a $C_t(i)$ l'equazione $\lambda$? Io ci ho provato, ma se ricordo bene la derivata di un integrale è la funzione stessa.

Se ho capito bene, al tempo $[t]$, devi determinare la funzione $[C_t(i)]$ che massimizza l'integrale $[[\int_{0}^{1}C_t(i)^(1-1/epsilon)di]^(epsilon/(epsilon-1))]$ soggetta alla condizione $[\int_{0}^{1}P_t(i)C_t(i)di=Z_t]$, essendo $[P_t(i)]$ una funzione assegnata, $[epsilon]$ e $[Z_t]$ due parametri assegnati. Si tratta di calcolo delle variazioni. In ogni modo, se sei interessato a determinare la condizione di cui parli, puoi procedere così:

$[Lambda=[\int_{0}^{1}C_t(i)^(1-1/epsilon)di]^(epsilon/(epsilon-1))-lambda[\int_{0}^{1}P_t(i)C_t(i)di-Z_t]]$

$[(deltaLambda)/(deltaC)=0] rarr$

$rarr [epsilon/(epsilon-1)[\int_{0}^{1}C_t(i)^(1-1/epsilon)di]^(epsilon/(epsilon-1)-1)(1-1/epsilon)C_t(i)^(1-1/epsilon-1)-lambdaP_t(i)=0] rarr$

$ rarr [epsilon/(epsilon-1)[\int_{0}^{1}C_t(i)^(1-1/epsilon)di]^(1/(epsilon-1))(epsilon-1)/epsilonC_t(i)^(-1/epsilon)-lambdaP_t(i)=0] rarr$

$rarr [[[\int_{0}^{1}C_t(i)^(1-1/epsilon)di]^(epsilon/(epsilon-1))]^(1/epsilon)C_t(i)^(-1/epsilon)-lambdaP_t(i)=0] rarr$

$rarr [C_t^(1/epsilon)C_t(i)^(-1/epsilon)-lambdaP_t(i)=0] rarr$

$rarr [C_t^(1/epsilon)C_t(i)^(-1/epsilon)=lambdaP_t(i)]$

[lemming78]

"speculor":[quote="lemming78"]
Perchè all'interno di $C_t$ ci sono due esponenti, uno dentro l'integrale, e uno fuori, che sono uno l'inverso dell'altro? Cioè qual'è lo scopo di questa operazione?

Questo puoi saperlo solo tu. Voglio dire, il loro significato si può evincere solo dal modello economico che stai studiando. Dovrebbe essere spiegato nel tuo manuale di riferimento.

"lemming78":
Quali sono i passaggi per derivare rispetto a $C_t(i)$ l'equazione $\lambda$? Io ci ho provato, ma se ricordo bene la derivata di un integrale è la funzione stessa.

Se ho capito bene, al tempo $[t]$, devi determinare la funzione $[C_t(i)]$ che massimizza l'integrale $[[[\int_{0}^{1}C_t(i)^(1-1/epsilon)di]^(epsilon/(epsilon-1))]$ soggetta alla condizione $[\int_{0}^{1}P_t(i)C_t(i)di=Z_t]$, essendo $[P_t(i)]$ una funzione assegnata, $[epsilon]$ e $[Z_t]$ due parametri assegnati. Si tratta di calcolo delle variazioni. In ogni modo, se sei interessato a determinare la condizione di cui parli, puoi procedere così:

$[Lambda=[\int_{0}^{1}C_t(i)^(1-1/epsilon)di]^(epsilon/(epsilon-1))-lambda[\int_{0}^{1}P_t(i)C_t(i)di-Z_t]]$

$[(deltaLambda)/(deltaC)=0] rarr$

$rarr [epsilon/(epsilon-1)[\int_{0}^{1}C_t(i)^(1-1/epsilon)di]^(epsilon/(epsilon-1)-1)(1-1/epsilon)C_t(i)^(1-1/epsilon-1)-lambdaP_t(i)=0] rarr$

$ rarr [epsilon/(epsilon-1)[\int_{0}^{1}C_t(i)^(1-1/epsilon)di]^(1/(epsilon-1))(epsilon-1)/epsilonC_t(i)^(-1/epsilon)-lambdaP_t(i)=0] rarr$

$rarr [[[\int_{0}^{1}C_t(i)^(1-1/epsilon)di]^(epsilon/(epsilon-1))]^(1/epsilon)C_t(i)^(-1/epsilon)-lambdaP_t(i)=0] rarr$

$rarr [C_t^(1/epsilon)C_t(i)^(-1/epsilon)-lambdaP_t(i)=0] rarr$

$rarr [C_t^(1/epsilon)C_t(i)^(-1/epsilon)=lambdaP_t(i)]$[/quote]

Innanzitutto grazie mille, è quello che cercavo. Solo mi sono perso un passaggio:

mi spiegheresti un secondo questa operazione?

$[[\int_{0}^{1}C_t(i)^(1-1/epsilon)di]^(epsilon/(epsilon-1))]^(1/epsilon) = C_t^(1/epsilon)$?

Cioè perchè l'integrale è uguale a $C_t$? Mi dispiace, ma non ho molta dimestichezza con gli integrali di funzioni implicite.. magari è una cavolata che ora non mi viene in mente però:)

[Sk_Anonymous]

"lemming78":
$C_t= [ \int_0^1 C_t(i)^(1-\frac{1}{epsilon})di]^\frac{epsilon}{epsilon-1}$ è un indice di consumo del bene i-esimo nel tempo t. Si assume l'esistenza di un continuum di beni rappresentato dall'intervallo [0,1].

Scusa ma, non l'hai scritto tu? Si tratta di una posizione. Quell'integrale, una volta valutato, viene indicato con il simbolo $[C_t]$.

[lemming78]

Grazie mille... ora è tutto chiaro. Anche risolto il punto (1).