Ancora sulla completezza di uno SM

[Sk_Anonymous]

Buondì. In vista dell'orale della prima parte di Analisi I domanderò in questi giorni spesso conferme intorno allo svolgimento di alcuni esercizi.
Uno tra questi è un esercizio del secondo parziale dove devo aver scritto uno sproposito. Non ho il testo sottomano, ma indicativamente dovrebbe essere questo:

Si definisca una funzione \(\displaystyle d: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow [0,\infty) \) tale che \[\displaystyle d(x,y)=|\log(1 + e^{x}) - \log(1+e^{y})| \quad \quad x,y \in \mathbb{R} \]
i) Provare che \(\displaystyle (\mathbb{R},d) \) è uno spazio metrico;
ii) Provare che lo spazio metrico non è completo;
iii) Determinare il completamento di \(\displaystyle (\mathbb{R},d) \).

Il primo punto dovrebbe essere abbastanza semplice: basta fare qualche conto.
Mi perplime invece il punto ii: per provare che quello spazio metrico non è completo devo trovare una successione di Cauchy che non converge a nessun elemento di \(\displaystyle \mathbb{R} \) secondo quella metrica. Ma come?
Io non riesco a vedere il problema di quella distanza; solitamente il punto di completamento è un punto in cui la funzione "ha dei problemi". In questo caso, non riesco a vedere nulla.
Il punto iii segue poi dal punto ii.

Saluti, e grazie per la disponibilità

[Rigel1]

Proverei con una successione che diverge a \(-\infty\) come, ad esempio, \(x_n=-n\).

[Nomadje]

Secondo me dovresti studiare qualche successione oscillante, per cui QUELLA definizione di distanza ti porta a concludere che la successione si "appiattisca" sul valore intermedio (tramite il criterio di Cauchy) anche se in realtà il limite non esiste.
Oppure una successione negativamente divergente, per cui il rapporto tra gli esponenziali tende sempre a 1 e quindi il logaritmo tende a 0.

[Sk_Anonymous]

"Rigel":Proverei con una successione che diverge a \(-\infty\) come, ad esempio, \(x_n=-n\).

Ok, quindi fissato \(\displaystyle \epsilon >0 \) esiste \(\displaystyle \bar{n} \in \mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle \forall \ n,m>\bar{n}\), \(\displaystyle n,m \in \mathbb{N} \) la successione \(\displaystyle a_{n}=-n \) è di Cauchy secondo quella metrica, ossia si ha \[\displaystyle |\log(1+e^{-n}) - \log(1+e^{-m})|<\epsilon \] Tuttavia \(\displaystyle a_{n} \) non converge ad alcun elemento di \(\displaystyle \mathbb{R} \) secondo la metrica standard. In tal modo?

[Rigel1]

"Delirium":...Tuttavia \(\displaystyle a_{n} \) non converge ad alcun elemento di \(\displaystyle \mathbb{R} \) secondo la metrica standard.

Tuttavia non converge ad alcun elemento di \(\mathbb{R}\) nemmeno secondo la metrica \(d\).

[Sk_Anonymous]

Giusto. Quindi il completamento sarà \(\displaystyle - \infty \)...?

[Rigel1]

Sarà \(X=\mathbb{R}\cup\{-\infty\}\) con la metrica \(\hat{d}:X\times X\to\mathbb{R}\) definita da
\[
\hat{d}(x,y) = \begin{cases}
d(x,y), &\text{se}\ x,y\in\mathbb{R},\\
\log(1+e^x), &\text{se}\ x\in\mathbb{R}, y=-\infty,\\
\log(1+e^y), &\text{se}\ y\in\mathbb{R}, x=-\infty,\\
0, &\text{se}\ x=y=-\infty.
\end{cases}
\]

[Sk_Anonymous]

Grazie, Rigel.