Ancora sulla completezza del sistema trigonometrico

[Obionekenobi1]

Definita la funzione $ x{::}_(1)(t)=int_(0)^(t)x(a) da $ , $ t in [-pi,pi] $ , dove x è un vettore di $ L^2(-pi,pi) $ ortogonale al sistema generato dalle funzioni del sistema trigonometrico 1, cost, sent,......,cos(nt), sen(nt),..... Visto che i coefficienti di Fourier di x sono tutti nulli, se ne deriva subito che $ x{::}_(1)(-pi)=x{::}_(1)(pi) $ . Poi si possono andare a calcolare i coefficienti di Fourier di $ x{::}_(1) $ , che escluso il primo, pure risultano tutti nulli. Quello che non capisco nella dimostrazione è allora a cosa serve la condizione che $ x{::}_(1)(-pi)=x{::}_(1)(pi) $. Grazie a chiunque provarà ad aiutarmi.

[gugo82]

Servirà, come tutte le condizioni di questo tipo, per fare qualche integrazione per parti senza problemi.

Ad esempio:

[tex]$\int_{-\pi}^\pi x_1(t)\ \sin t\ \text{d} t= -\Big[ x_1(t)\ \cos t\Big]_{-\pi}^\pi +\int_{-\pi}^\pi x(t)\ \cos t\ \text{d} t$[/tex]

etc...

[Obionekenobi1]

Grandissimo gugo82.