Ancora sul flusso
Buonasera a tutti!
Vi scrivo per chiedervi nuovamente aiuto con un paio di esercizi sui flussi.
I risultati che ottengo si discostano lievemente da quelli che dovrebbero venire, ma non riesco ad individuare gli errori.
Esercizio 1
E' richiesto di calcolare il flusso attraverso l'intera superficie $z^2=h^2/a^2(x^2+y^2)$, essendo $0<=z<=h$ e $h,a$ costanti positive, del campo $\bbF=x^2y\bbe_1-xy^2\bbe_2+z\bbe_3$, nel verso uscente.
Ottengo il medesimo risultato, sia svolgendo il calcolo del flusso con la definizione, sia applicando il teorema della divergenza.
Per completezza vi illustro come ho svolto entrambi i metodi.
Tramite la definizione $\int_{S}\bbF*\bbndS$.
Parametrizzando la superficie, che è un cono, in coordinate cilindriche ottengo:
$S:{(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=\alpha\rho):}$, dove ho posto $\alpha=h/a$.
Per il calcolo della normale alla superficie, faccio il prodotto vettoriale $\phi_\thetaxx\phi_\rho$, che rappresentano i vettori contenenti le derivate parziali delle tre componenti di $S$ rispetto a $\theta$ e $\rho$, appunto. Nello specifico:
$\phi_\thetaxx\phi_\rho=|(\bbe_1,\bbe_2,\bbe_3),(cos\theta,sin\theta,\alpha),(-\rhosin\theta,\rhocos\theta,0)|=-\alpha\rhocos\theta\bbe_1-\alpha\rhosin\theta\bbe_2+\rho\bbe_3$.
Il campo calcolato nelle componenti della superficie diviene:
$\bbF(\bb\phi(\theta,\rho))=\rho^3cos^2\thetasin\theta\bbe_1-\rho^3cos\thetasin^2\theta\bbe_2+\alpha\rho\bbe_3$, e quindi:
$\bbF(\bb\phi(\theta,\rho))*\bbn=-\alpha\rho^4sin\thetacos^3\theta+\alpha\rho^4cos\thetasin^3\theta+\alpha\rho^2$. Integrando su $\theta$ e $\rho$:
$F=\int_{0}^(2\pi)d\theta\int_{0}^a[-\alpha\rho^4sin\thetacos^3\theta+\alpha\rho^4cos\thetasin^3\theta+\alpha\rho^2]d\rho=2/3\piha^2$, dove ho riscritto $\alpha$ nella forma originaria.
Tramite il teorema della divergenza: $\int_{S}\bbF*\bbndS=\int\int\int_{V}text{div}(\bbF)dxdydz$.
E' immediato che $text{div}(\bbF)=1$, quindi, in questo caso, il flusso è uguale a $text{mis}(V)$.
$F=int_{0}^(2\pi)\int_{0}^ad\rho\int_{0}^(\alpha\rho)dz=2/3\piha^2$
Il risultato corretto però dovrebbe essere $F=1/3\piha^2$. Non riesco a capire dove sia l'errore (anche concettuale).
Esercizio 2.
E' richiesto il flusso attraverso l'intera superficie dello spazio limitato da $z^2=x^2+y^2$ e da $z=x^2+y^2$, del campo $\bbF=sqrt(1+x^2+y^2)(\bbe_1+\bbe_2)+z^2\bbe_3$, nel verso uscente.
Innanzitutto, trovo la regione in cui si intersecano le due superfici, che sono rispettivamente un cono e un paraboloide, mettendole a sistema. Trovo che si intersecano sul piano $z=1$; ne segue che per tale valore di $z$, si ottiene la circonferenza $x^2+y^2=1$.
La regione che descrive la superficie attraverso la quale è richiesto il flusso sarà data dal volume del paraboloide meno il volume del cono, quindi diciamo $V=V_p-V_c$. Questo risultato lo userò applicando il teorema della divergenza. Applicando appunto tale teorema, ottengo che:
$\int_{S}\bbF*\bbndS=\int\int\int_{V}text{div}(\bbF)dxdydz=\int\int\int_{V_p-V_c}text{div}(\bbF)dxdydz=$
$\int\int\int_{V_p}text{div}(\bbF)dxdydz-\int\int\int_{V_c}text{div}(\bbF)dxdydz$.
$text{div}(\bbF)=(x+y)/sqrt(1+x^2+y^2)+2z$.
Ricordando che per le cilindriche $|J|=\rho$, svolgo i due integrali separatamente.
Per il primo, ottengo in cilindriche che $z=\rho^2$, di conseguenza:
$\int\int\int_{V_p}text{div}(\bbF)dxdydz=\int_{0}^(2\pi)d\theta\int_{0}^1d\rho\int_{0}^(\rho^2)[(\rho^2(cos\theta+sin\theta))/sqrt(1+\rho^2)+2\rhoz]dz$, da cui ottengo $\pi/3$.
Per il secondo, ottengo in cilindriche che $z=\rho$, di conseguenza:
$\int\int\int_{V_c}text{div}(\bbF)dxdydz=\int_{0}^(2\pi)d\theta\int_{0}^1d\rho\int_{0}^\rho[(\rho^2(cos\theta+sin\theta))/sqrt(1+\rho^2)+2\rhoz]dz$, da cui ottengo $\pi/2$.
Quindi $\pi/3-\pi/2=-\pi/6$.
Pervengo allo stesso risultato applicando la definizione di flusso, cioè, nello specifico, sottraendo il flusso del campo attraverso il cono dal flusso attraverso il paraboloide.
Il risultato corretto però dovrebbe essere: $F=+\pi/6$.
Vi ringrazio veramente di cuore, mi rendo conto che è molto lungo ciò che ho scritto e so che può scoraggiare la lettura.
Grazie ancora!
Vi scrivo per chiedervi nuovamente aiuto con un paio di esercizi sui flussi.
I risultati che ottengo si discostano lievemente da quelli che dovrebbero venire, ma non riesco ad individuare gli errori.
Esercizio 1
E' richiesto di calcolare il flusso attraverso l'intera superficie $z^2=h^2/a^2(x^2+y^2)$, essendo $0<=z<=h$ e $h,a$ costanti positive, del campo $\bbF=x^2y\bbe_1-xy^2\bbe_2+z\bbe_3$, nel verso uscente.
Ottengo il medesimo risultato, sia svolgendo il calcolo del flusso con la definizione, sia applicando il teorema della divergenza.
Per completezza vi illustro come ho svolto entrambi i metodi.
Tramite la definizione $\int_{S}\bbF*\bbndS$.
Parametrizzando la superficie, che è un cono, in coordinate cilindriche ottengo:
$S:{(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=\alpha\rho):}$, dove ho posto $\alpha=h/a$.
Per il calcolo della normale alla superficie, faccio il prodotto vettoriale $\phi_\thetaxx\phi_\rho$, che rappresentano i vettori contenenti le derivate parziali delle tre componenti di $S$ rispetto a $\theta$ e $\rho$, appunto. Nello specifico:
$\phi_\thetaxx\phi_\rho=|(\bbe_1,\bbe_2,\bbe_3),(cos\theta,sin\theta,\alpha),(-\rhosin\theta,\rhocos\theta,0)|=-\alpha\rhocos\theta\bbe_1-\alpha\rhosin\theta\bbe_2+\rho\bbe_3$.
Il campo calcolato nelle componenti della superficie diviene:
$\bbF(\bb\phi(\theta,\rho))=\rho^3cos^2\thetasin\theta\bbe_1-\rho^3cos\thetasin^2\theta\bbe_2+\alpha\rho\bbe_3$, e quindi:
$\bbF(\bb\phi(\theta,\rho))*\bbn=-\alpha\rho^4sin\thetacos^3\theta+\alpha\rho^4cos\thetasin^3\theta+\alpha\rho^2$. Integrando su $\theta$ e $\rho$:
$F=\int_{0}^(2\pi)d\theta\int_{0}^a[-\alpha\rho^4sin\thetacos^3\theta+\alpha\rho^4cos\thetasin^3\theta+\alpha\rho^2]d\rho=2/3\piha^2$, dove ho riscritto $\alpha$ nella forma originaria.
Tramite il teorema della divergenza: $\int_{S}\bbF*\bbndS=\int\int\int_{V}text{div}(\bbF)dxdydz$.
E' immediato che $text{div}(\bbF)=1$, quindi, in questo caso, il flusso è uguale a $text{mis}(V)$.
$F=int_{0}^(2\pi)\int_{0}^ad\rho\int_{0}^(\alpha\rho)dz=2/3\piha^2$
Il risultato corretto però dovrebbe essere $F=1/3\piha^2$. Non riesco a capire dove sia l'errore (anche concettuale).
Esercizio 2.
E' richiesto il flusso attraverso l'intera superficie dello spazio limitato da $z^2=x^2+y^2$ e da $z=x^2+y^2$, del campo $\bbF=sqrt(1+x^2+y^2)(\bbe_1+\bbe_2)+z^2\bbe_3$, nel verso uscente.
Innanzitutto, trovo la regione in cui si intersecano le due superfici, che sono rispettivamente un cono e un paraboloide, mettendole a sistema. Trovo che si intersecano sul piano $z=1$; ne segue che per tale valore di $z$, si ottiene la circonferenza $x^2+y^2=1$.
La regione che descrive la superficie attraverso la quale è richiesto il flusso sarà data dal volume del paraboloide meno il volume del cono, quindi diciamo $V=V_p-V_c$. Questo risultato lo userò applicando il teorema della divergenza. Applicando appunto tale teorema, ottengo che:
$\int_{S}\bbF*\bbndS=\int\int\int_{V}text{div}(\bbF)dxdydz=\int\int\int_{V_p-V_c}text{div}(\bbF)dxdydz=$
$\int\int\int_{V_p}text{div}(\bbF)dxdydz-\int\int\int_{V_c}text{div}(\bbF)dxdydz$.
$text{div}(\bbF)=(x+y)/sqrt(1+x^2+y^2)+2z$.
Ricordando che per le cilindriche $|J|=\rho$, svolgo i due integrali separatamente.
Per il primo, ottengo in cilindriche che $z=\rho^2$, di conseguenza:
$\int\int\int_{V_p}text{div}(\bbF)dxdydz=\int_{0}^(2\pi)d\theta\int_{0}^1d\rho\int_{0}^(\rho^2)[(\rho^2(cos\theta+sin\theta))/sqrt(1+\rho^2)+2\rhoz]dz$, da cui ottengo $\pi/3$.
Per il secondo, ottengo in cilindriche che $z=\rho$, di conseguenza:
$\int\int\int_{V_c}text{div}(\bbF)dxdydz=\int_{0}^(2\pi)d\theta\int_{0}^1d\rho\int_{0}^\rho[(\rho^2(cos\theta+sin\theta))/sqrt(1+\rho^2)+2\rhoz]dz$, da cui ottengo $\pi/2$.
Quindi $\pi/3-\pi/2=-\pi/6$.
Pervengo allo stesso risultato applicando la definizione di flusso, cioè, nello specifico, sottraendo il flusso del campo attraverso il cono dal flusso attraverso il paraboloide.
Il risultato corretto però dovrebbe essere: $F=+\pi/6$.
Vi ringrazio veramente di cuore, mi rendo conto che è molto lungo ciò che ho scritto e so che può scoraggiare la lettura.
Grazie ancora!
Risposte
Ho guardato l'es.1 e mi sembra tutto corretto.
Ti ringrazio Quinzio! So che è noioso leggere tutto, per questo te ne sono grato! 
up
Anche il secondo è sostanzialmente ok.
Ti viene il segno opposto perchè dovevi fare $V_c-V_p$.
Il paraboloiode sta sotto il cono. Partendo da $z=0$ si incontra prima il paraboloide poi il cono.
Ti viene il segno opposto perchè dovevi fare $V_c-V_p$.
Il paraboloiode sta sotto il cono. Partendo da $z=0$ si incontra prima il paraboloide poi il cono.
Innanzitutto ti ringrazio infinitamente Quinzio!
Però il volume totale è dato da quello del paraboloide meno quello del cono, di questo sono sicuro, anche perchè per $0<=z<=1$, dando ad esempio come valore $z=1/3$, per il cono si ottiene $x^2+y^2=1/9$ e per il paraboloide $x^2+y^2=1/3$.
Da questo ho dedotto che fino a $z=1$, il raggio del cono è minore di quello del paraboloide, da cui segue che praticamente "il cono sta dentro il paraboloide". Ma allora il volume è dato da $V_p-V_c$. Perchè sbaglio?
Però il volume totale è dato da quello del paraboloide meno quello del cono, di questo sono sicuro, anche perchè per $0<=z<=1$, dando ad esempio come valore $z=1/3$, per il cono si ottiene $x^2+y^2=1/9$ e per il paraboloide $x^2+y^2=1/3$.
Da questo ho dedotto che fino a $z=1$, il raggio del cono è minore di quello del paraboloide, da cui segue che praticamente "il cono sta dentro il paraboloide". Ma allora il volume è dato da $V_p-V_c$. Perchè sbaglio?
Perchè quello che fai è una integrazione per fili paralleli all'asse z, quindi è su quei fili che dovrai fare le valutazioni.
Se l'integrale più interno fosse quello del raggio, allora si che il tuo ragionamento andava bene.
Forse la confusione nasce dal fatto che quello che chiami $V_c$ è in realtà il cilindro meno il cono (idem per il paraboloide).
In altre parole:
$\int_(0)^(2\pi)\int_(0)^(1)\int_(0)^(\rho) "div"(\bbF)\rho\ dz\ d\rho\ d\theta - \int_(0)^(2\pi)\int_(0)^(1)\int_(0)^(\rho^2) "div"(\bbF)\rho\ \dz\ d\rho\ d\theta\$
oppure
$\int_(0)^(2\pi)\int_(0)^(1)\int_(0)^(\sqrtz) "div"(\bbF) \rho\ d\rho\ \dz\ d\theta - \int_(0)^(2\pi)\int_(0)^(1)\int_(0)^(z) "div"(\bbF)\rho\ d\rho\ \dz\ d\theta\$
Se l'integrale più interno fosse quello del raggio, allora si che il tuo ragionamento andava bene.
Forse la confusione nasce dal fatto che quello che chiami $V_c$ è in realtà il cilindro meno il cono (idem per il paraboloide).
In altre parole:
$\int_(0)^(2\pi)\int_(0)^(1)\int_(0)^(\rho) "div"(\bbF)\rho\ dz\ d\rho\ d\theta - \int_(0)^(2\pi)\int_(0)^(1)\int_(0)^(\rho^2) "div"(\bbF)\rho\ \dz\ d\rho\ d\theta\$
oppure
$\int_(0)^(2\pi)\int_(0)^(1)\int_(0)^(\sqrtz) "div"(\bbF) \rho\ d\rho\ \dz\ d\theta - \int_(0)^(2\pi)\int_(0)^(1)\int_(0)^(z) "div"(\bbF)\rho\ d\rho\ \dz\ d\theta\$
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