Ancora sui sistemi in due variabili
Chiedo scusa se torno sulla questione, ma ho capito che questo è l'anello debole che mi frega e voglio risolverlo prima dell'esame, il 21 di questo mese. Parlo sempre dei sistemi in due variabili per i punti stazionari. Il problema non sono i concetti e la teoria, che ho studiato e capito, il problema è alle basi: la risoluzione dei sistemi. Non riesco a trovare i punti, magari ne trovo alcuni che il calcolatore non trova e non riesco ad andare avanti.
Esercizio capitatomi ieri $f=x^2+xy+x^2y+x^2y^2$. Il sistema del gradiente è il seguente:
$\{(2x+y+2xy+2xy^2=0),(x+x^2+2x^2y=0):}$.
Ora, ho provato a isolare $2x$ a numeratore. Ma mi veniva scomodo. Ho provato cercando di fare due raccoglimenti parziali nella prima per avere un termine comune da raccogliere, ma non lo ho trovato. Ho provato anche a cercare di raccogliere uno stesso termine nella prima e nella seconda, per poi isolarlo in una delle due e sostituirlo nell'altra, ma non lo ho trovato.
Mi sono così spostato sulla seconda equazione isolando $x$. Per l'annullamento del prodotto, ho trovato $x=0$, che sostituito nella prima equazione dà $y=0$. L'altro termine è $1+x+2xy=0$ che mi dà a sua volta $x(2y+1)=-1$ ossia $x=-1$ e $y=-1$. Ora, $x=-1$ mi darebbe $y$ complessi quindi nada, l'altro mi dà $x=1/2$. Solo che $(1/2,-1)$ non risulta dal calcolatore. Però poi mi sono accorto che forse ho sbagliato, perché la legge di annullamento del prodotto funziona se ho il membro uguale a zero, non uguale ad un altro numero. Qualcuno può aiutarmi a colmare questa lacuna per favore? Faccio tanti esercizi ma continuo a bloccarmi su queste cose.
Esercizio capitatomi ieri $f=x^2+xy+x^2y+x^2y^2$. Il sistema del gradiente è il seguente:
$\{(2x+y+2xy+2xy^2=0),(x+x^2+2x^2y=0):}$.
Ora, ho provato a isolare $2x$ a numeratore. Ma mi veniva scomodo. Ho provato cercando di fare due raccoglimenti parziali nella prima per avere un termine comune da raccogliere, ma non lo ho trovato. Ho provato anche a cercare di raccogliere uno stesso termine nella prima e nella seconda, per poi isolarlo in una delle due e sostituirlo nell'altra, ma non lo ho trovato.
Mi sono così spostato sulla seconda equazione isolando $x$. Per l'annullamento del prodotto, ho trovato $x=0$, che sostituito nella prima equazione dà $y=0$. L'altro termine è $1+x+2xy=0$ che mi dà a sua volta $x(2y+1)=-1$ ossia $x=-1$ e $y=-1$. Ora, $x=-1$ mi darebbe $y$ complessi quindi nada, l'altro mi dà $x=1/2$. Solo che $(1/2,-1)$ non risulta dal calcolatore. Però poi mi sono accorto che forse ho sbagliato, perché la legge di annullamento del prodotto funziona se ho il membro uguale a zero, non uguale ad un altro numero. Qualcuno può aiutarmi a colmare questa lacuna per favore? Faccio tanti esercizi ma continuo a bloccarmi su queste cose.
Risposte
Ciao umbe,
Anche senza forse...
Potresti trovare $y $ da $1 + x + 2xy = 0$ e poi sostituirlo nella prima...
"umbe":
Però poi mi sono accorto che forse ho sbagliato
Anche senza forse...
Potresti trovare $y $ da $1 + x + 2xy = 0$ e poi sostituirlo nella prima...
Eh, trovo $y=-1/x-1$, mi insospettisce dividere per l'incognita.
"umbe":
L'altro termine è $1+x+2xy=0$ che mi dà a sua volta $x(2y+1)=-1$ ossia $x=-1$ e $y=-1$.
Cos'è successo qui? Sembra tu stia cercando di utilizzare la legge di annullamento del prodotto per un prodotto che non è posto uguale a zero. Ciò non ha senso, infatti i punti che hai trovato non soddisfano le equazioni del sistema, già sostituendoli solo nella seconda equazione ti risulta $-2=0$.
[ot]umbe, non prenderla come una critica non costruttiva ma come un consiglio: i problemi che hai con questi sistemi sono di origine antecedente all'università, ti consiglio caldamente di risolverli perché se, da come mi è sembrato di capire, vuoi veramente capire le cose, ogni lacuna deve essere colmata appena emerge.
Seriamente, risparmi un sacco di tempo sul lungo percorso.
Magari dai l'esame all'appello successivo, ma avrai veramente padronanza e una visione critica di ciò che usi.[/ot]
"Mephlip":
[quote="umbe"]L'altro termine è $1+x+2xy=0$ che mi dà a sua volta $x(2y+1)=-1$ ossia $x=-1$ e $y=-1$.
Cos'è successo qui? Sembra tu stia cercando di utilizzare la legge di annullamento del prodotto per un prodotto che non è posto uguale a zero. Ciò non ha senso, infatti i punti che hai trovato non soddisfano le equazioni del sistema, già sostituendoli solo nella seconda equazione ti risulta $-2=0$.
[ot]umbe, non prenderla come una critica non costruttiva ma come un consiglio: i problemi che hai con questi sistemi sono di origine antecedente all'università, ti consiglio caldamente di risolverli perché se, da come mi è sembrato di capire, vuoi veramente capire le cose, ogni lacuna deve essere colmata appena emerge.
Seriamente, risparmi un sacco di tempo sul lungo percorso.
Magari dai l'esame all'appello successivo, ma avrai veramente padronanza e una visione critica di ciò che usi.[/ot][/quote]
Infatti ho scritto subito che ho sbagliato proprio perché ho usato in modo inappropriato la legge di annullamento del prodotto (me ne sono accorto dopo). E ho anche scritto che il problema non sono i concetti di questo corso, ma troppo tempo di inattività su cose base, che mi sono dimenticato.
Esercitarmi sui punti stazionari o le cose di analisi II oramai è superfluo. Devo fare esercizio sui sistemi non lineari (mamma mia, mi sento scemo ad avere scordato ste cose base): qualcuno sa linkarmi un sito o pdf di esercizi svolti di sistemi non lineari?
Hai ragione umbe, non avevo letto bene! Per farmi perdonare, sono andato a rivedermi se ti può essere utile questa cosa: http://users.dma.unipi.it/gobbino/Home_ ... M2_16.html
Lezione 18, minuto 36:20.
Tratta massimi e minimi, sono con i moltiplicatori di Lagrange ma comunque svolge dei sistemi in più variabili e spiega come non perdersi soluzioni. Spero ti sia utile!
Lezione 18, minuto 36:20.
Tratta massimi e minimi, sono con i moltiplicatori di Lagrange ma comunque svolge dei sistemi in più variabili e spiega come non perdersi soluzioni. Spero ti sia utile!
"umbe":
Eh, trovo $y=−1/x−1 $, mi insospettisce dividere per l'incognita.
Non è vero, trovi $y = - \frac{x + 1}{2x} $, supponendo $ x \ne 0 $, ma comunque il caso $x = 0 $ l'hai già preso in considerazione...
"pilloeffe":
[quote="umbe"]Eh, trovo $y=−1x−1 $, mi insospettisce dividere per l'incognita.
Non è vero, trovi $y = - \frac{x + 1}{2x} $, supponendo $ x \ne 0 $, ma comunque il caso $x = 0 $ l'hai già preso in considerazione...[/quote]
Ah già, il $2$: lo avevo scordato.
Comunque ho preso il libro di seconda liceo e adesso mi do ai sistemi non lineari per fortificarmi e rispolverare quelle basi. Spero sia sufficiente. PDF o siti da linkarmi per esercitarmi su questo?
Beh, proseguendo come ti ho suggerito si trova
$2x - \frac{x + 1}{2x} - x - 1 + \frac{(x + 1)^2}{2x} = 0 $
Ora dovresti essere in grado di proseguire autonomamente...
$2x - \frac{x + 1}{2x} - x - 1 + \frac{(x + 1)^2}{2x} = 0 $
Ora dovresti essere in grado di proseguire autonomamente...
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