Ancora sui limiti..

[Obidream]

Salve a tutti, siccome oggi mi sento particolarmente ispirato( ma anche no) mi sono cimentato nel seguente limite:

$lim_(x->+infty) x^4*(x-sqrt(x^2+1))$

Razionalizzo, come si fa di solito con le radici:

$lim_(x->+infty) x^4*(x-sqrt(x^2+1))/(x+sqrt(x^2+1))*x+sqrt(x^2+1)$

$lim_(x->+infty) (-x^4)/(x+sqrt(x^2+1))$

Nel seguente passaggio non metto il valore assoluto perché lavoriamo con $x->+infty$:

$lim_(x->+infty) (-x^4)/(x+xsqrt(1+1/x^2))$

$lim_(x->+infty) (-x^4)/(x*(1+sqrt(1+1/x^2)))$

$lim_(x->+infty) (-x^3)/(1+sqrt(1+1/x^2))$

Al numeratore $-x^3$ tende a $-infty$, mentre il denominatore tende a $2$ quindi il risultato è:


$lim_(x->+infty) x^4*(x-sqrt(x^2+1))=-infty$

Ho fatto qualche cavolata o è tutto lecito?

[wnvl]

penso che tutto sia corretto.

[Plepp]

"Obidream":
Nel seguente passaggio non metto il valore assoluto perché lavoriamo con $x->+infty$:

Ciao Obi. Vacci piano con questi stratagemmi, altrimenti può capitare questo
\[x^2+1\sim x^2\qquad \text{per}\ x\to\infty\]
quindi
\[\lim_{x\to+\infty} x^4(x-\sqrt(x^2+1))=\lim_{x\to+\infty} x^4(x-|x|)\]
e togliendo il valore assoluto
\[\lim_{x\to+\infty} x^4(x-x)=0\]
Il risultato però è corretto, mi pare

[Obidream]

"Plepp":[quote="Obidream"]
Nel seguente passaggio non metto il valore assoluto perché lavoriamo con $x->+infty$:

Ciao Obi. Vacci piano con questi stratagemmi, altrimenti può capitare questo
\[x^2+1\sim x^2\qquad \text{per}\ x\to\infty\]
quindi
\[\lim_{x\to+\infty} x^4(x-\sqrt(x^2+1))=\lim_{x\to+\infty} x^4(x-|x|)\]
e togliendo il valore assoluto
\[\lim_{x\to+\infty} x^4(x-x)=0\]
[/quote]
Sisi, queste sono le idee malsane che potrebbero saltare in mente dopo aver visto i simboli di Landau