Ancora su convergenza integrale improprio
L'integrale in questione è:
$\int_0^oo \frac{\xe^(-3xa)}{(x^2-9)^(1/3)(x^2+x^3)^a}$ con $a \in \mathbb{R}$
e non riesco a ricavarci nulla...
$\int_0^oo \frac{\xe^(-3xa)}{(x^2-9)^(1/3)(x^2+x^3)^a}$ con $a \in \mathbb{R}$
e non riesco a ricavarci nulla...
Risposte
up...
Per prima cosa: dove presenta problemi l'integrale Attento perché al variare di $a\in RR$ le cose cambiano molto.
"ciampax":
Per prima cosa: dove presenta problemi l'integrale Attento perché al variare di $a\in RR$ le cose cambiano molto.
Eh lo so...il problema lo presenta sia a $0$ in forma $0$/$0$ che ad $infty$ in forma $infty$/$infty$...è che non riesco a risolvere i limiti!!!
Per prima cosa, separa i tre casi $a>0,\ a=0,\ a>0$. Il caso $a=0$ risulta semplice: infatti in tal caso lpintegrale risulta
$\int_0^{\infty}{x}/{(x^2-9)^{1/3}}\ dx$
che presenta problemi in $x=3,\ x=+\infty$
Quando $a>0$ hai l'integrale originale e i problemi si presentano in $x=0,\ x=3,\ x=\infty$, mantre, se $a<0$, puoi scambiare posizione tra l'esponenziale e il termine elevato ad $a$ a denominatore, e in questo caso i punti problematici sono $x=3,\ x=\infty$.
Ti consiglio di ragionare, in tutti e tre i casi, prima su cosa accada quando $x=\infty$.
$\int_0^{\infty}{x}/{(x^2-9)^{1/3}}\ dx$
che presenta problemi in $x=3,\ x=+\infty$
Quando $a>0$ hai l'integrale originale e i problemi si presentano in $x=0,\ x=3,\ x=\infty$, mantre, se $a<0$, puoi scambiare posizione tra l'esponenziale e il termine elevato ad $a$ a denominatore, e in questo caso i punti problematici sono $x=3,\ x=\infty$.
Ti consiglio di ragionare, in tutti e tre i casi, prima su cosa accada quando $x=\infty$.
"ciampax":
Per prima cosa, separa i tre casi $a>0,\ a=0,\ a>0$. Il caso $a=0$ risulta semplice: infatti in tal caso lpintegrale risulta
$\int_0^{\infty}{x}/{(x^2-9)^{1/3}}\ dx$
che presenta problemi in $x=3,\ x=+\infty$
Quando $a>0$ hai l'integrale originale e i problemi si presentano in $x=0,\ x=3,\ x=\infty$, mantre, se $a<0$, puoi scambiare posizione tra l'esponenziale e il termine elevato ad $a$ a denominatore, e in questo caso i punti problematici sono $x=3,\ x=\infty$.
Ti consiglio di ragionare, in tutti e tre i casi, prima su cosa accada quando $x=\infty$.
Ok, per $a=0$ diverge sia ad $infty$ che a 3. $a<0$ idem. $a>0$ dovrebbe divergere per $a=0$ e $3$ e convergere ad infinito...ma ora cosa ne posso dedurre?
Se almeno in un caso hai divergenza, allora diverge. Sono d'accordo sul fatto che per $a\le 0$ diverga, ma rifarei i calcoli per $a>0$ se fossi in te.
"ciampax":
Se almeno in un caso hai divergenza, allora diverge. Sono d'accordo sul fatto che per $a\le 0$ diverga, ma rifarei i calcoli per $a>0$ se fossi in te.
Allora, per $a>0$ $\\lim_{x->0} \frac{\xe^(-3xa)}{(x^2-9)^(1/3)(x^2+x^3)^a}$ $\sim \frac{x}{(e^(3ax))(-9)^(1/3)x^(2a)}$ giusto? Quindi deve essere $1>=2a$. A questo punto posso dire che converge per $a<1/2$?
So che mancano anche le parti a $infty$ ed a 3, ma voglio capire se per adesso sto ragionando correttamente...
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