Ancora serie... uff...
abbiate pazienza, volevo sapere se questa x questa serie è giusto sto svolgimento...
$sum_(n=1)^ooe^((-1)^n/sqrtn)-1
l'equzione è oscillante. possiamo riscrivere questa serie come differenza tra la serie dei termini positivi e quella coi termini negativi. ovvero, chiamato $a_n$ l'argomento della serie la riscrivo come $sum_(n=1)^ooa_n^(+)-sum_(n=1)^ooa_n^-
dove (definisco)
$a_n=e^((-1)^n/sqrtn)-1
$a_n^+=e^(1/sqrtn)-1$
$a_n^(-)=1-e^(-1/sqrtn)$
quindi, essendo che la due serie hanno gli stessi indici, le posso mettere "insieme" e ottengo:
$sum_(n=1)^oo(e^(1/sqrtn)-1)-(1-e^(-1/sqrtn))=sum_(n=1)^ooe^(1/sqrtn)+e^(-1/sqrtn)-2=sum_(n=1)^oo2Ch(1/sqrtn)-2
dove Ch è il coseno iperbolico. essa è asintotica ad $sum_(n=1)^oo2/n+o(1/n)-=sum_(n=1)^oo1/n$ che diverge, quindi tutta la serie diverge.
è giusto come procedimento?
$sum_(n=1)^ooe^((-1)^n/sqrtn)-1
l'equzione è oscillante. possiamo riscrivere questa serie come differenza tra la serie dei termini positivi e quella coi termini negativi. ovvero, chiamato $a_n$ l'argomento della serie la riscrivo come $sum_(n=1)^ooa_n^(+)-sum_(n=1)^ooa_n^-
dove (definisco)
$a_n=e^((-1)^n/sqrtn)-1
$a_n^+=e^(1/sqrtn)-1$
$a_n^(-)=1-e^(-1/sqrtn)$
quindi, essendo che la due serie hanno gli stessi indici, le posso mettere "insieme" e ottengo:
$sum_(n=1)^oo(e^(1/sqrtn)-1)-(1-e^(-1/sqrtn))=sum_(n=1)^ooe^(1/sqrtn)+e^(-1/sqrtn)-2=sum_(n=1)^oo2Ch(1/sqrtn)-2
dove Ch è il coseno iperbolico. essa è asintotica ad $sum_(n=1)^oo2/n+o(1/n)-=sum_(n=1)^oo1/n$ che diverge, quindi tutta la serie diverge.
è giusto come procedimento?
Risposte
ma non devi distinguere fra n pari ed n dispari?
così non conti due volte alcuni termini quando raggruppi?
così non conti due volte alcuni termini quando raggruppi?
"Chicco_Stat_":
ma non devi distinguere fra n pari ed n dispari?
così non conti due volte alcuni termini quando raggruppi?
beh non contandoli cambio a cosa converge, non se converge o meno, il carattere è uguale... o no?
Nella mia grande ignoranza volevo provare a dirvi la mia idea
sfruttando il limite notevole
$\lim_(x\rightarrow 0)\frac(e^(x)-1)(x)=1$
allora
$e^(\frac((-1)^n)(\sqrt(n)))-1~~\frac((-1)^n)(\sqrt(n))$
e questa però mi sembra converga per Leibnitz...bho che ne dite?
sfruttando il limite notevole
$\lim_(x\rightarrow 0)\frac(e^(x)-1)(x)=1$
allora
$e^(\frac((-1)^n)(\sqrt(n)))-1~~\frac((-1)^n)(\sqrt(n))$
e questa però mi sembra converga per Leibnitz...bho che ne dite?
"in_me_i_trust":
Nella mia grande ignoranza volevo provare a dirvi la mia idea
sfruttando il limite notevole
$\lim_(x\rightarrow 0)\frac(e^(x)-1)(x)=1$
allora
$e^(\frac((-1)^n)(\sqrt(n)))-1~~\frac((-1)^n)(\sqrt(n))$
e questa però mi sembra converga per Leibnitz...bho che ne dite?
te puoi usare l'asintotico solo se è di segno costante se no perde senso... cioè è sbagliato in quanto l'asintotico ha senso per strutture che vanno all'infinito non oscillatorie... o sbaglio?
Non so probabilmente è come dici te però l'esponente tende a zero..purtroppo sulle serie ci insegnarono solo qualche ''trucco'' come questo senza dirci molto di teoria 
però mi interesserebbe capire un po' meglio come mai. Ma quindi non va bene questa approssimazione nemmeno se dovessi semplicemente studiare il limite per $n\rightarrow+\infty$ ? (scusa se mi sono intromesso nel tuo post!)
però mi interesserebbe capire un po' meglio come mai. Ma quindi non va bene questa approssimazione nemmeno se dovessi semplicemente studiare il limite per $n\rightarrow+\infty$ ? (scusa se mi sono intromesso nel tuo post!)
se la serie è oscillante no, l'asintotico lo puoi usare come approssimazione solo se sei sicuro del segno definitivamente costante della successione, infatti ti faccio un esempio $sum_(n=1)^oo(-1)^n/sqrtn+1/n$ non converge.
però se usi l'asintotico avresti che questa serie si comporta come $sum_(n=1)^oo(-1)^n/sqrtn$ che converge...
quindi se la serie è oscillante devi andar coi piedi di piombo..
infatti l'asintotico è definito solo per successioni monotone definitivamente, mai oscillanti, in quanto descrive il comportamento all'infinito, non in un'oscillazione con numeri "bassi" diciamo rozzamente---
però se usi l'asintotico avresti che questa serie si comporta come $sum_(n=1)^oo(-1)^n/sqrtn$ che converge...
quindi se la serie è oscillante devi andar coi piedi di piombo..
infatti l'asintotico è definito solo per successioni monotone definitivamente, mai oscillanti, in quanto descrive il comportamento all'infinito, non in un'oscillazione con numeri "bassi" diciamo rozzamente---
"fu^2":
abbiate pazienza, volevo sapere se questa x questa serie è giusto sto svolgimento...
$sum_(n=1)^ooe^((-1)^n/sqrtn)-1
l'equzione è oscillante. possiamo riscrivere questa serie come differenza tra la serie dei termini positivi e quella coi termini negativi. ovvero, chiamato $a_n$ l'argomento della serie la riscrivo come $sum_(n=1)^ooa_n^(+)-sum_(n=1)^ooa_n^-
dove (definisco)
$a_n=e^((-1)^n/sqrtn)-1
$a_n^+=e^(1/sqrtn)-1$
$a_n^(-)=1-e^(-1/sqrtn)$
quindi, essendo che la due serie hanno gli stessi indici, le posso mettere "insieme" e ottengo:
$sum_(n=1)^oo(e^(1/sqrtn)-1)-(1-e^(-1/sqrtn))=sum_(n=1)^ooe^(1/sqrtn)+e^(-1/sqrtn)-2=sum_(n=1)^oo2Ch(1/sqrtn)-2
dove Ch è il coseno iperbolico. essa è asintotica ad $sum_(n=1)^oo2/n+o(1/n)-=sum_(n=1)^oo1/n$ che diverge, quindi tutta la serie diverge.
è giusto come procedimento?
Non credo sia giusto, perchè col tuo ragionamento concludi che esiste un particolare metodo di sommazione che rende la serie divergente. In questo modo non puoi concludere che la serie diverge: infatti il tuo ragionamento implica solamente che $\sum a_n$ non può convergere assolutamente (ricorda che, a norma del Teorema di Riemann-Dini, le uniche serie incondizionatamente convergenti sono tutte e sole le serie assolutamente convergenti).
Visto che la serie, come fai giustamente notare, è a segni alterni, puoi provare a vedere se sono verificate le ipotesi del teorema di Leibniz: però stai attento a distinguere i casi $n$ pari ed $n$ dispari quando cerchi di provare la decrescenza della successione $(|a_n|)_(n in NN)$ (cioè $|a_(n+1)|le|a_n|$), dato che hai:
$|a_n|=\{(e^(1/(sqrt n))-1, " se " n " è pari"),(1-e^(-1/(sqrt n)), " se " n " è dispari"):}$.
"gugo82":
[quote="fu^2"]abbiate pazienza, volevo sapere se questa x questa serie è giusto sto svolgimento...
$sum_(n=1)^ooe^((-1)^n/sqrtn)-1
l'equzione è oscillante. possiamo riscrivere questa serie come differenza tra la serie dei termini positivi e quella coi termini negativi. ovvero, chiamato $a_n$ l'argomento della serie la riscrivo come $sum_(n=1)^ooa_n^(+)-sum_(n=1)^ooa_n^-
dove (definisco)
$a_n=e^((-1)^n/sqrtn)-1
$a_n^+=e^(1/sqrtn)-1$
$a_n^(-)=1-e^(-1/sqrtn)$
quindi, essendo che la due serie hanno gli stessi indici, le posso mettere "insieme" e ottengo:
$sum_(n=1)^oo(e^(1/sqrtn)-1)-(1-e^(-1/sqrtn))=sum_(n=1)^ooe^(1/sqrtn)+e^(-1/sqrtn)-2=sum_(n=1)^oo2Ch(1/sqrtn)-2
dove Ch è il coseno iperbolico. essa è asintotica ad $sum_(n=1)^oo2/n+o(1/n)-=sum_(n=1)^oo1/n$ che diverge, quindi tutta la serie diverge.
è giusto come procedimento?
Non credo sia giusto, perchè col tuo ragionamento concludi che esiste un particolare metodo di sommazione che rende la serie divergente. In questo modo non puoi concludere che la serie diverge: infatti il tuo ragionamento implica solamente che $\sum a_n$ non può convergere assolutamente (ricorda che, a norma del Teorema di Riemann-Dini, le uniche serie incondizionatamente convergenti sono tutte e sole le serie assolutamente convergenti).
Visto che la serie, come fai giustamente notare, è a segni alterni, puoi provare a vedere se sono verificate le ipotesi del teorema di Leibniz: però stai attento a distinguere i casi $n$ pari ed $n$ dispari quando cerchi di provare la decrescenza della successione $(|a_n|)_(n in NN)$ (cioè $|a_(n+1)|le|a_n|$), dato che hai:
$|a_n|=\{(e^(1/(sqrt n))-1, " se " n " è pari"),(1-e^(-1/(sqrt n)), " se " n " è dispari"):}$.[/quote]
era li il mio dubbio, visto che questa è osclillatoria, ero insicuro se potevo suddividerla coke volevo, prorpio per quel teorema...
mmm la strada è sbagliata... bene... allora ripreovo meglio
grazie e alla prossima
finalmente ce l'ho fatta!!! 
se la stanchezza e lo stress nn mi ingannan, otteniam che dividendo
le serie dei termini pari e quelle dei termini dispari otteniamo che $e^(-1/sqrtn)-1>=-1/sqrtn$ e $e^(1/sqrtn)-1<=1/sqrtn$
queste due disgualianze son facili da verificare.
quindi possiamo dire che $sum_(n=1)^ooe^((-1)^n/sqrtn)-1<=sum_(n=1)^oo(-1)^n/sqrtn
che per libniz converge.
quindi la serie di partenza converge.
è giusto ora?... chiedo conferma
se la stanchezza e lo stress nn mi ingannan, otteniam che dividendo le serie dei termini pari e quelle dei termini dispari otteniamo che $e^(-1/sqrtn)-1>=-1/sqrtn$ e $e^(1/sqrtn)-1<=1/sqrtn$
queste due disgualianze son facili da verificare.
quindi possiamo dire che $sum_(n=1)^ooe^((-1)^n/sqrtn)-1<=sum_(n=1)^oo(-1)^n/sqrtn
che per libniz converge.
quindi la serie di partenza converge.
è giusto ora?... chiedo conferma
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