Ancora residui
Ciao!
nell'ultimo compito di metodi matematici mi son capitate queste funzioni:
1. $tanz / (e^z -1)$
2. $e^(1/z) / (zsinz)$
3. $e^(1/z) / ( z^4 +1)$
in cui dovevo trovare la singolarità e calcolarne i residui. Il problema che mi è subito sorto è il seguente: come faccio a fare il residuo della 2. e della 3. in $z_0=0$? per quanto riguarda la funzione $1/ (zsinz)$ il residuo dovrebbe ssere nullo pechè la funzione è pari. ma se quest'ultima è moltiplicata per $e^(1/z)$ come calcolo il residuo della nuova funzione?
Se qualcuno mi può dare una dritta su questi residui, mi farebbe davvero un piacere.
grazie
Pole
nell'ultimo compito di metodi matematici mi son capitate queste funzioni:
1. $tanz / (e^z -1)$
2. $e^(1/z) / (zsinz)$
3. $e^(1/z) / ( z^4 +1)$
in cui dovevo trovare la singolarità e calcolarne i residui. Il problema che mi è subito sorto è il seguente: come faccio a fare il residuo della 2. e della 3. in $z_0=0$? per quanto riguarda la funzione $1/ (zsinz)$ il residuo dovrebbe ssere nullo pechè la funzione è pari. ma se quest'ultima è moltiplicata per $e^(1/z)$ come calcolo il residuo della nuova funzione?
Se qualcuno mi può dare una dritta su questi residui, mi farebbe davvero un piacere.
grazie
Pole
Risposte
nessuno riesce a darmi una dritta? mi dareste davvero una mano.
grazie
Pole
grazie
Pole
mi dispiace nn poterti aiutare visto che non ricordo quasi nulla ma scusamii se dico una caz***ata ma io ricordo che in questi csi bisogna fare una sostituzione è calcolare il residuo a + infinito che a zero.scusa se nn ti posso essere piu utile 
Spero che sia ancora d'aiuto. Al punto 3 si può considerare lo sviluppo in serie di Laurent
di $e^(1/z)$ attorno a $z_0=0$: $e^(1/z)=1+1/(1!z)+1/(2!z^2)+1/(3!z^3)+ldots$.
Poichè poi $1/(z^4+1)=1-z^4+z^8-z^12+ldots$, vale $(e^(1/z))/(z^4+1)=(1+1/(1!z)+1/(2!z^2)+1/(3!z^3)+ldots)*(1-z^4+z^8-z^12+ldots)$
$=(1-z^4+z^8-z^12+ldots)+(1/(1!z)-z^3/(1!)+ldots)+ldots$, da cui $Res[(e^(1/z))/(z^4+1),0]=1$.
Le altre quattro singolarità della funzione sono nelle radici quarte di $-1$, e i residui non sono difficili da calcolare,
è solo questione di conti. Conti che sarebbero molto più semplici se la funzione fosse $(e^(1/z))/(z^4-1)$...
di $e^(1/z)$ attorno a $z_0=0$: $e^(1/z)=1+1/(1!z)+1/(2!z^2)+1/(3!z^3)+ldots$.
Poichè poi $1/(z^4+1)=1-z^4+z^8-z^12+ldots$, vale $(e^(1/z))/(z^4+1)=(1+1/(1!z)+1/(2!z^2)+1/(3!z^3)+ldots)*(1-z^4+z^8-z^12+ldots)$
$=(1-z^4+z^8-z^12+ldots)+(1/(1!z)-z^3/(1!)+ldots)+ldots$, da cui $Res[(e^(1/z))/(z^4+1),0]=1$.
Le altre quattro singolarità della funzione sono nelle radici quarte di $-1$, e i residui non sono difficili da calcolare,
è solo questione di conti. Conti che sarebbero molto più semplici se la funzione fosse $(e^(1/z))/(z^4-1)$...
Neanch'io mi ricordo bene e forse dicono una cavolata ma sen(z) non era uguale a $(e^(jz)-e^(-jz))/(2j)$ dove $j^2$=-1?
Se è così nella 2. fai questa sostituzione. La 3. mi sembra una mezza cavolata le singolarità sono le radici quarte di -1.
Se è così nella 2. fai questa sostituzione. La 3. mi sembra una mezza cavolata le singolarità sono le radici quarte di -1.
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