Ancora problemi con le equazioni nel campo complesso...
Buonasera matematicamentaioli!! 
ma k' ho detto
facendo esercizi presi un pò qua e un pò là mi sono imbattuto in questa equazione da risolvere in $CC$
$z^2+(isqrt3-1)*z-1=0$
ho provato subito sostituenzo $z$ con $a+ib$ svolto il quadrato e la moltiplicazione e messo a sistema per trovare i valori che annullano contemporaneamente la parte reale e la parte immaginaria.
l'equazione diventa
$(a+ib)^2+(isqrt3-1)*(a+ib)-1=0$
svolgendo,
$a^2+2aib-b^2+aisqrt3-sqrt3 b-a-ib-1=0$
da cui, il sistema da risolvere è
$\{(a^2-b^2-a-sqrt3b-1=0),(2ab+asqrt3-b=0):}$
ho allora immaginato di aver proprio sbagliato strada e non ho insistito con i calcoli e sono tornato da capo provando un' altra via.
quella iniziale è un banalissimo polinomio di secondo grado; vale quindi la ben nota formula $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
dove $a=1$
$b=isqrt3-1$
$c=-1$
o no??
ma applicando la formula viene fuori
$z_{1,2} = \frac{-(isqrt3-1) \pm \sqrt{(isqrt3-1)^2 +4}}{2}$
$= \frac{-isqrt3+1 \pm \sqrt{-3+1+4-2sqrt3i}}{2}$
una radice sotto radice??
correzioni? suggerimenti??
dovevo insistere sul primo sistema?
o è meglio applicare la formula risolutiva?
grazie in anticipo per il vostro tempo e per le risposte
a presto!
ma k' ho detto facendo esercizi presi un pò qua e un pò là mi sono imbattuto in questa equazione da risolvere in $CC$
$z^2+(isqrt3-1)*z-1=0$
ho provato subito sostituenzo $z$ con $a+ib$ svolto il quadrato e la moltiplicazione e messo a sistema per trovare i valori che annullano contemporaneamente la parte reale e la parte immaginaria.
l'equazione diventa
$(a+ib)^2+(isqrt3-1)*(a+ib)-1=0$
svolgendo,
$a^2+2aib-b^2+aisqrt3-sqrt3 b-a-ib-1=0$
da cui, il sistema da risolvere è
$\{(a^2-b^2-a-sqrt3b-1=0),(2ab+asqrt3-b=0):}$
ho allora immaginato di aver proprio sbagliato strada e non ho insistito con i calcoli e sono tornato da capo provando un' altra via.
quella iniziale è un banalissimo polinomio di secondo grado; vale quindi la ben nota formula $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
dove $a=1$
$b=isqrt3-1$
$c=-1$
o no??
ma applicando la formula viene fuori
$z_{1,2} = \frac{-(isqrt3-1) \pm \sqrt{(isqrt3-1)^2 +4}}{2}$
$= \frac{-isqrt3+1 \pm \sqrt{-3+1+4-2sqrt3i}}{2}$
una radice sotto radice??
correzioni? suggerimenti??
dovevo insistere sul primo sistema?
o è meglio applicare la formula risolutiva?
grazie in anticipo per il vostro tempo e per le risposte
a presto!
Risposte
Secondo me la seconda è la via più breve. Solamente che quello sotto radiche è un numero complesso quindi facendo la radice otterrai altri due numeri complessi. In totale si ottengono 4 soluzioni...
il $Delta$ della formula risolutiva dell'equazione è un quadrato $Delta=2-2isqrt3=(sqrt3-i)^2$, credo che a questo punto l'esercizio sia risolto
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