Ancora massimi e minimi..
ciao a tutti, sono alle prese con un problema di calcolo di massimi e minimi di una funzione in un insieme.
il problema recita:
trovare i massimi e minimi della funzione $f(x,y)=xy+log(1/2+x^2+y^2)$
nell'insieme $A:={(x,y) in \RR^2 | x^2+y^2<=2}$
per risolvere questo problema pongo uguali a zero le componenti del gradiente della funzione
$(partial f)/(partial x)=y+(2x)/(1/2+x^2+y^2)=0$
e analogamente
$(partial f)/(partial y)=x+(2y)/(1/2+x^2+y^2)=0$
adesso in teoria devo trovare i punti critici e vedere poi di fare l'hessiano conquello che trovo, giusto?
ma come trovo anche solo i punti critici a partire dalle 2 equazioni qui sopra??
il problema recita:
trovare i massimi e minimi della funzione $f(x,y)=xy+log(1/2+x^2+y^2)$
nell'insieme $A:={(x,y) in \RR^2 | x^2+y^2<=2}$
per risolvere questo problema pongo uguali a zero le componenti del gradiente della funzione
$(partial f)/(partial x)=y+(2x)/(1/2+x^2+y^2)=0$
e analogamente
$(partial f)/(partial y)=x+(2y)/(1/2+x^2+y^2)=0$
adesso in teoria devo trovare i punti critici e vedere poi di fare l'hessiano conquello che trovo, giusto?
ma come trovo anche solo i punti critici a partire dalle 2 equazioni qui sopra??
Risposte
mi spiego meglio.. se io metto a sistema le due equazioni ottengo:
$y+(2x)/(1/2+x^2+y^2)=x+(2y)/(1/2+x^2+y^2)$
quindi seporto tutto a sinistra:
$y-x+(2x)/(1/2+x^2+y^2)-(2y)/(1/2+x^2+y^2)=0$
denominatore comune
$(y-x)(1/2+x^2+y^2)/(1/2+x^2+y^2)+(2x)/(1/2+x^2+y^2)-(2y)/(1/2+x^2+y^2)=(y-x)(1/2+x^2+y^2)+2x-2y=0$
qui mi viene che la funzione si annulla per $x=y$, ma non mi pare proprio che funzioni la cosa, in quanto per esempio in $(1,1)$ la $(partial f)/(partial x) $ non e' certo $=0$!
dove sbaglio??
$y+(2x)/(1/2+x^2+y^2)=x+(2y)/(1/2+x^2+y^2)$
quindi seporto tutto a sinistra:
$y-x+(2x)/(1/2+x^2+y^2)-(2y)/(1/2+x^2+y^2)=0$
denominatore comune
$(y-x)(1/2+x^2+y^2)/(1/2+x^2+y^2)+(2x)/(1/2+x^2+y^2)-(2y)/(1/2+x^2+y^2)=(y-x)(1/2+x^2+y^2)+2x-2y=0$
qui mi viene che la funzione si annulla per $x=y$, ma non mi pare proprio che funzioni la cosa, in quanto per esempio in $(1,1)$ la $(partial f)/(partial x) $ non e' certo $=0$!
dove sbaglio??
"mashiro":
$y-x+(2x)/(1/2+x^2+y^2)-(2y)/(1/2+x^2+y^2)=0$
Ma si può raccogliere $y-x$ a fattore comune, no?
Infatti:
$y-x+(2x)/(1/2+x^2+y^2)-(2y)/(1/2+x^2+y^2)=(y-x)-(2(y-x))/(1/2+x^2+y^2)=(y-x)(1-2/(1/2+x^2+y^2))$...
sicuramente i massimi e minimi si hanno per $y=+-x$, perché A è un cerchio con centro nell'origine e raggio $sqrt2$, e non credo che il massimo e il minimo debbano essere zero, perché non stai studiando il modulo e mi pare che la funzione assume valori sia positivi sia negativi...
dunque prova con $(+-1, +-1)$ opportunamente combinati: sono punti di frontiera...
spero di essere stata utile. ciao.
dunque prova con $(+-1, +-1)$ opportunamente combinati: sono punti di frontiera...
spero di essere stata utile. ciao.
"Gugo82":
[quote="mashiro"]$y-x+(2x)/(1/2+x^2+y^2)-(2y)/(1/2+x^2+y^2)=0$
Ma si può raccogliere $y-x$ a fattore comune, no?
Infatti:
$y-x+(2x)/(1/2+x^2+y^2)-(2y)/(1/2+x^2+y^2)=(y-x)-(2(y-x))/(1/2+x^2+y^2)=(y-x)(1-2/(1/2+x^2+y^2))$...[/quote]
non ho capito che tipo di puntualizzazione e' questa....avevo gia' risolto che era =0 per x=y, no??
"adaBTTLS":
sicuramente i massimi e minimi si hanno per y=±x, perché A è un cerchio con centro nell'origine e raggio 2, e non credo che il massimo e il minimo debbano essere zero, perché non stai studiando il modulo e mi pare che la funzione assume valori sia positivi sia negativi...
dunque prova con (±1,±1) opportunamente combinati: sono punti di frontiera...
spero di essere stata utile. ciao.
perche' se A e' un cerchio sicuramente i massimi e minimi si hanno per y=x??
quello che non mi sconfinfera e' che se non ho sbagliato qualcosa, per come la vedo io le componenti del gradiente per x=y dovrebbero essere nulle, invece cosi non e'.. dove sbaglio??
$f(x,y)=xy+log(1/2+x^2+y^2)$, con $x^2+y^2<=2$.
dunque, essendo log una funzione crescente, ha il massimo dove è massimo l'argomento, cioè quando l'argomento è $1/2+2=5/2$ (analogamente minimo a 1/2, con x=y=0), assumendo valori compresi tra $log(1/2)~=-0.69$ e $log(5/2)~=0.92$, comunque in valore assoluto minori di 1.
il prodotto xy, nel cerchio di centro l'origine e raggio $sqrt2$ assume valori massimi in valore assoluto sulla circonferenza, e, se ricordi $sent*cost$, il massimo (1) si ha quando x=y e il minimo (-1) quando x=-y.
quanto al gradiente, se raccogli (y-x), per la legge di annullamento del prodotto si ha sicuramente 0 per x=y ...
dunque, essendo log una funzione crescente, ha il massimo dove è massimo l'argomento, cioè quando l'argomento è $1/2+2=5/2$ (analogamente minimo a 1/2, con x=y=0), assumendo valori compresi tra $log(1/2)~=-0.69$ e $log(5/2)~=0.92$, comunque in valore assoluto minori di 1.
il prodotto xy, nel cerchio di centro l'origine e raggio $sqrt2$ assume valori massimi in valore assoluto sulla circonferenza, e, se ricordi $sent*cost$, il massimo (1) si ha quando x=y e il minimo (-1) quando x=-y.
quanto al gradiente, se raccogli (y-x), per la legge di annullamento del prodotto si ha sicuramente 0 per x=y ...
"adaBTTLS":
$f(x,y)=xy+log(1/2+x^2+y^2)$, con $x^2+y^2<=2$.
dunque, essendo log una funzione crescente, ha il massimo dove è massimo l'argomento, cioè quando l'argomento è $1/2+2=5/2$ (analogamente minimo a 1/2, con x=y=0), assumendo valori compresi tra $log(1/2)~=-0.69$ e $log(5/2)~=0.92$, comunque in valore assoluto minori di 1.
il prodotto xy, nel cerchio di centro l'origine e raggio $sqrt2$ assume valori massimi in valore assoluto sulla circonferenza, e, se ricordi $sent*cost$, il massimo (1) si ha quando x=y e il minimo (-1) quando x=-y.
quanto al gradiente, se raccogli (y-x), per la legge di annullamento del prodotto si ha sicuramente 0 per x=y ...
c'e' un modo per risolverlo e mostrarlo analiticamente?
tornando al risultato, e sono convinto piu' che mai che sia corretto, quindi mi troverei anche il massimo e minimo assoluti in $\RR^2$ sempre in $(\infty,\infty)$$(\infty,-\infty)$ rispettivamente ma anche in $(-\infty,-\infty)$$(-\infty,\infty)$ la funzione quindi e' simmetrica risptto alle bisettrici degli assi..
il metodo analitico è quello iniziato da te, con la nota di Gugo82.
poi c'è da considerare la frontiera. i metodi sono diversi (ad esempio cercando di scrivere la funzione al contorno mediante un parametro, oppure ricorrendo al metodo dei moltiplicatori di Lagrange), ma io sono secoli che non tratto più queste cose e sicuramente tu avrai qualche metodo "privilegiato" per trattare le funzioni "al contorno": vediti la teoria e scegli.
se vuoi continuare come avevo iniziato io a considerare la funzione suddivisa in due "pezzi", così come puoi considerare la stretta monotonia della funzione logaritmo, puoi anche studiare a parte la funzione $g(x,y)=x*y$ con i metodi soliti, che hai già applicato all'intera funzione, e vedere se ottieni una semplificazione e qualche risultato significativo.
quanto alla simmetria in $RR^2$ non so, io ci andrei cauta: anche se il logaritmo cresce molto meno rapidamente di xy, "simmetria" mi sembra un termine "forte".
poi c'è da considerare la frontiera. i metodi sono diversi (ad esempio cercando di scrivere la funzione al contorno mediante un parametro, oppure ricorrendo al metodo dei moltiplicatori di Lagrange), ma io sono secoli che non tratto più queste cose e sicuramente tu avrai qualche metodo "privilegiato" per trattare le funzioni "al contorno": vediti la teoria e scegli.
se vuoi continuare come avevo iniziato io a considerare la funzione suddivisa in due "pezzi", così come puoi considerare la stretta monotonia della funzione logaritmo, puoi anche studiare a parte la funzione $g(x,y)=x*y$ con i metodi soliti, che hai già applicato all'intera funzione, e vedere se ottieni una semplificazione e qualche risultato significativo.
quanto alla simmetria in $RR^2$ non so, io ci andrei cauta: anche se il logaritmo cresce molto meno rapidamente di xy, "simmetria" mi sembra un termine "forte".
si, si, mi sono accorto che ho usato impropriamente e con troppa leggerezza il termine, grazie..
prego...
se provi qualche altra strada facci sapere.
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