Ancora Logaritmi...

[bennyqmat]

Ciao a tutti!
Mi potete aiutare a risolvere questi logaritmi ?? proprio non riesco non so perchè...


PRIMO ES.)

$ 1/2 $ Log (x+8) - Log 12 = 2 Log 5 - 2

(Qui ho provato ad applicare le proprietà dei logaritmi, mi sono portato quell'1\2 sull'argomento, facendolo diventare sotto radice quadrata, e poi ho portato 2 Log dall'altro lato, poi ho applicato le proprietà dei logaritmi, cioè un logaritmo meno un altro logaritmo o un logaritmo piu un altro logaritmo, infine minimo comune multiplo... ma niente non mi trovo con il risultato)

SECONDO ES.)

$ 1/3 $ Log ($ x^3$ - 8x + 5) = Log (x-1)

(qui non so come muovermi... come lo scompongo ? con ruffini quell' x alla terza o altro ? e poi ?

TERZO ES.)

Log (4x-1) - Log (3x -1) = Log (1+x) - Log (1-x)

(Qui la mia domanda è ? che faccio ? porto tutto da un lato ed applico le proprietà dei logaritmi ottenendo un unico logaritmo, oppure applico prima da un lato la proprietà un logaritmo meno un altro logaritmo e poi li unisco ? in entrambi i modi non mi trovo al risultato.

*A tutti ho comunque posto le CONDIZIONI INIZIALI A LATO.
**per Log senza base si intende con numero di nepero

Attendo risposte!! grazie anticipatamente

[BoG3]

... hai provato applicando $e$ ?

[bennyqmat]

Scusami non sono molto esperto di matematica... non so neanche che significa... potresti aiutarmi ??

[BoG3]

manco io !! Ora cerco di dirtelo in modo "brutale" e ignorante (quale sono) ma magari ti dara' un idea:

comunque, la funzione logaritmo ha una funzione inversa: esponenziale. (nel caso del logaritmo naturale ho che la sua inversa è $e^x$)

dato che $e$ è inversa di $ln$ ho che $ln = 1/e$ e ho anche che $e=1/ln$ quindi se da $ln$ passo a $e$ e poi ritorno a $ln$, ottengo lo stesso punto. Basta sostituire $e=1/ln$ in $ln = 1/e$. E' come andare a casa della tua morosa seguendo una strada (o una serie di strade). Quando vuoi tornare a casa rifai esattamente la stessa strada in senso inverso e ti trovi al punto di partenza

Comunque, per via di questa proprieta' posso scrivere per esempio: $e^ln(x) =x$ questo perchè, partendo dal calcolo dell'esponente ho: $ln(x)= $un qualche numero che non so cosa sia, chiamiamolo $\text(qualche _numero_strano)$ e riscrivo la mia equazione di partenza: $e^\text(qualche _numero_strano)$e siccome so che le due funzioni sono una l'inverso dell'altra, qualunque sia il mio numero strano, so che ritornero' in $x$, quindi: $e^ln(x) = x$

in pratica se hai $lnx = ln3$, puoi applicare l'esponenziale a tutte e due le parti e ottieni: $e^ln(x) = e^ln(3)$.
ora sicocme l'una sono l'inverso dell'altra, puoi "semplificare" ed ottieni x = 3

Se ho detto cavolate mi coreggeranno pero' in teoria, è un discorso non formale ma che magari, spero, ti aiutera' a farti un idea

[bennyqmat]

Ho capito il discorso della e, del logaritmo naturale... non mi da una gran mano.
però avrei più bisogno di un aiuto specifico nei singoli esercizi...
Ho scritto singolarmente sopra cosa ho fatto per ognuno...

Qualcuno sa aiutarmi per favore ?

[BoG3]

$1/2ln(x+8)-ln12 = 2ln5 -5$ Come al solito, io, prima di tutto separerei le parti dell'equazione con l'incognita $x$ da quelle che sono "termini noti/finiti/costanti". Ti faccio notare che $ln5$, è un numero, anche se tu non lo conosci a memoria, è un numero e puo' essere contata come un numero noto. (ad esempio $1,6$, infatti $ln5 = 1,6$. L'ho calcolato con la calcolatrice, tranquillo ). Quindi, portati a destra i termini noti e a sinistra i termini contenenti l'incognita $x$, ottengo:

$1/2ln(x+8)=2ln5-5+ln12$ sposto anche $1/2$ a destra che diventa una moltiplicazione per $2$:

$ln(x+8)=2(2ln5-5+ln12)$ ora uso le proprieta' dei logaritmi per semplificare un po':

$ln(x+8)=2(2ln5-5+ln12) = 4ln(5)+2ln12-10=ln5^4+ln12^2 -10=ln(5^4*12^2)-10$ ora ho:

$ln(x+8)=ln(5^4*12^2)-10$ se "applico" $e$ da entrambe le parti:

$e^ln(x+8)=e^(ln(5^4*12^2)-10)$=e^ln(5^4*144)/e^10 = e^ln(90000)/e^10, ricordandomi della proprieta' che $e$ è inverso di $ln$:

$x+8 = 90000/e^10$, quindi $x=90000/e^10 -8$

ora prova tu!

[chiaraotta1]

Per il secondo esercizio
$1/3 Log ( x^3 - 8x + 5) = Log (x-1)$.
Poni le condizioni di esistenza dei logaritmi:
${( x^3 - 8x + 5>0), (x-1>0):}$.
Poi moltiplica per $3$ e usa la proprietà dei logaritmi $nlog_a b=log_a b^n$.
Così ottieni che
$1/3 Log ( x^3 - 8x + 5) = Log (x-1)->$
$Log ( x^3 - 8x + 5) = 3Log (x-1)->$
$ Log ( x^3 - 8x + 5) = Log (x-1)^3->$
$x^3 - 8x + 5=(x-1)^3$

[bennyqmat]

"BoG":$1/2ln(x+8)-ln12 = 2ln5 -5$ Come al solito, io, prima di tutto separerei le parti dell'equazione con l'incognita $x$ da quelle che sono "termini noti/finiti/costanti". Ti faccio notare che $ln5$, è un numero, anche se tu non lo conosci a memoria, è un numero e puo' essere contata come un numero noto. (ad esempio $1,6$, infatti $ln5 = 1,6$. L'ho calcolato con la calcolatrice, tranquillo ). Quindi, portati a destra i termini noti e a sinistra i termini contenenti l'incognita $x$, ottengo:

$1/2ln(x+8)=2ln5-5+ln12$ sposto anche $1/2$ a destra che diventa una moltiplicazione per $2$:

$ln(x+8)=2(2ln5-5+ln12)$ ora uso le proprieta' dei logaritmi per semplificare un po':

$ln(x+8)=2(2ln5-5+ln12) = 4ln(5)+2ln12-10=ln5^4+ln12^2 -10=ln(5^4*12^2)-10$ ora ho:

$ln(x+8)=ln(5^4*12^2)-10$ se "applico" $e$ da entrambe le parti:

$e^ln(x+8)=e^(ln(5^4*12^2)-10)$=e^ln(5^4*144)/e^10 = e^ln(90000)/e^10, ricordandomi della proprieta' che $e$ è inverso di $ln$:

$x+8 = 90000/e^10$, quindi $x=90000/e^10 -8$

ora prova tu!

Guarda non penso si risolva cosi.... il risultato del libro è 1 ! Quindi non esce...
Tra l'altro ho molte perplessità su alcuni passaggi...

[chiaraotta1]

Guarda che, in generale, con $Log$ si intende il logaritmo in base $10$.
Se è così, l'equazione
$1/2Log (x+8) - Log 12 = 2 Log 5 - 2$
si può risolvere così (con $x> -8$):
$1/2Log (x+8) - Log 12 = 2 Log 5 - 2->$
$Log (x+8) - 2Log 12 = 4 Log 5 - 4->$
$Log (x+8) =Log 12^2+Log 5^4 - Log 10^4->$
$Log (x+8) =Log (3^2*2^4)+Log 5^4 - Log (2^4*5^4)->$
$Log (x+8) =Log ((3^2*2^4*5^4)/(2^4*5^4) )->$
$Log (x+8) =Log (3^2 )->x+8=9->x=1$.

[chiaraotta1]

Per risolvere
$Log (4x-1) - Log (3x -1) = Log (1+x) - Log (1-x)$
si può partire imponendo le condizioni
${(4x-1>0), (3x -1>0), (1+x>0), (1-x>0):}->1/3 Poi
$Log (4x-1) - Log (3x -1) = Log (1+x) - Log (1-x)->$
$Log (4x-1) + Log (1-x) = Log (1+x) + Log (3x-1)->$
$Log [(4x-1) (1-x)] = Log [(1+x)(3x-1)]->$
$(4x-1) (1-x)=(1+x)(3x-1)->$
$4x-4x^2-1+x=3x-1+3x^2-x->$
$7x^2-3x=0->$
$x(7x-3)=0->x_1= 0\ text(non accettabile),\ x_2=3/7$.

[BoG3]

"bennyqmat":
Guarda non penso si risolva cosi.... il risultato del libro è 1 ! Quindi non esce...
Tra l'altro ho molte perplessità su alcuni passaggi...

E' perchè io ho considerato $log$ come logaritmo naturale. Ecco perchè non viene uguale. Scusa ma avevo supposto si trattasse di quello
Non credo ci siano errori (tranne che ho usato $ln$ anzichè $log$, ma lo svolgimento è corretto)

Scrivi pure i dubbi che hai sui miei passaggi e li vediamo assieme

se ho sbagliato imparo qualcosa pure io

[bennyqmat]

"chiaraotta":Per risolvere
$Log (4x-1) - Log (3x -1) = Log (1+x) - Log (1-x)$
si può partire imponendo le condizioni
${(4x-1>0), (3x -1>0), (1+x>0), (1-x>0):}->1/3 Poi
$Log (4x-1) - Log (3x -1) = Log (1+x) - Log (1-x)->$
$Log (4x-1) + Log (1-x) = Log (1+x) + Log (3x-1)->$
$Log [(4x-1) (1-x)] = Log [(1+x)(3x-1)]->$
$(4x-1) (1-x)=(1+x)(3x-1)->$
$4x-4x^2-1+x=3x-1+3x^2-x->$
$7x^2-3x=0->$
$x(7x-3)=0->x_1= 0\ text(non accettabile),\ x_2=3/7$.

Svolgimento perfetto!!!! Grazie davvero