Ancora limiti -.-

[darkangel65]

io continuo a litigare con i limiti di funzioni..gentilmente potreste darmi un aiuto?
lim di x--->0 $\frac{\cosx - \cos 2x}{1- \cos x}$
ho riconosciuto il limite notevole...ma mi blocco!

[anima123]

$lim_(x to 0) (cos x - cos^2 x + sin^2 x)/(1 - cos x)$

$= lim_(x to 0) cos x + (sin^2 x)/((1 - cos x)/(x^2)x^2) = 3 $

si deve trovare 3?

[darkangel65]

qui dice 3...ma il prof mi aveva detto che qualche limite potrebbe essere sbagliato...

[darkangel65]

si... ma potresti spiegarmi come hai fatto?? grazie mille

[anima123]

i limiti notevoli da usare sono :

$lim_(x to 0) (1 - cos x)/(x^2) = 1/2$

$lim_(x to 0) (sin^2 x) / (x^ 2) = 1$

[anima123]

usa la formula di duplicazione

$cos (2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$
dopodicchè metti $cos(x)$ in evidenza. in questo modo puoi spezzare la frazione e ti viene come ti hos critto io al secondo passaggio. Nel secondo passaggio ho moltiplicato e diviso per $x^2$ così da utilizzare il limite notevole del coseno e il limite notevole del seno.

[darkangel65]

grazie mille!

[darkangel65]

ma il coseno lo metti in evidenza solo per il denominatore?? perchè non mi trovo....

[anima123]

no al numeratore metti il coseno in evidenza.

$(cos x - cos^2 (x) + sin^2(x))/(1 - cos x)$
metti in evidenza al numeratore e hai :

$(cos x (1 - cos x) + sin^2(x))/(1 - cos x)$

spezza la frazione e hai fatto.

[darkangel65]

ok,ok! capito! grazie ancora