Ancora Integrazione
Ciao.
Ho un altro problemino.
L'esercizio dice così:
Sia D sottoinsieme misurabile di $RR^N$ e sia ${f_n}_(n in NN)$ una successione di funzioni misurabili definite su D, tali che la funzione $sum_(n in NN)|f_n|$ sia sommabile su D. Si provi che:
$sum_(n in NN) int_Df_ndx = int_Dsum_(n in NN)f_ndx$.
Io ho pensato di fare così:
pongo $AA m in NN$ $g_m=sum_(n=0)^mf_n$
allora $|g_m|=|sum_(n=0)^mf_n|<=sum_(n=0)^m|f_n|<=sum_(n in NN)|f_n|=g$.
Se riesco a mostrare che g_m converge q.o. posso applicare la convergenza dominata (dove la dominante è g) ma questo risultato non mi sembra ovvio.
Problema forse stupido: posso dire che se $g=sum_(n in NN)|f_n|$ è sommabile su D allora in particolar modo è definita quasi ovunque su D quindi la serie delle $f_n$ converge assolutamente (a g) e quindi converge puntualmente (q.o.)?
Mi rendo conto che può essere la stupidaggine del secolo ma non mi convince... grazie a chi sarà così gentile da rispondere.
Ho un altro problemino.
L'esercizio dice così:
Sia D sottoinsieme misurabile di $RR^N$ e sia ${f_n}_(n in NN)$ una successione di funzioni misurabili definite su D, tali che la funzione $sum_(n in NN)|f_n|$ sia sommabile su D. Si provi che:
$sum_(n in NN) int_Df_ndx = int_Dsum_(n in NN)f_ndx$.
Io ho pensato di fare così:
pongo $AA m in NN$ $g_m=sum_(n=0)^mf_n$
allora $|g_m|=|sum_(n=0)^mf_n|<=sum_(n=0)^m|f_n|<=sum_(n in NN)|f_n|=g$.
Se riesco a mostrare che g_m converge q.o. posso applicare la convergenza dominata (dove la dominante è g) ma questo risultato non mi sembra ovvio.
Problema forse stupido: posso dire che se $g=sum_(n in NN)|f_n|$ è sommabile su D allora in particolar modo è definita quasi ovunque su D quindi la serie delle $f_n$ converge assolutamente (a g) e quindi converge puntualmente (q.o.)?
Mi rendo conto che può essere la stupidaggine del secolo ma non mi convince... grazie a chi sarà così gentile da rispondere.
Risposte
Certo, la convergenza assoluta (q.o.) implica la convergenza puntuale (q.o.) (e puoi dimostrarlo facilmente), quindi il tuo ragionamento è corretto.
Ok. TI ringrazio. So che mi pongo problemi forse stupidi ma preferisco andare con i piedi di piombo non avendo ancora ben metabolizzato questa roba piuttosto che allegre dimostrazioni dai piedi di argilla...
è una conseguenza del lemma di Beppo-Levi per le successioni di funzioni crescenti(la somma dei moduli)
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