Ancora integrali tripli

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2 apr 2006, 23:39

come avrete ben capito io e gli integrali tripli nn andiamo molto d'accordo....

l'es è il seguente calcolare $intintintsqrt(x^2+z^2)dxdydz$ esteso a C cono di vertice (0,1,0) avente per base il cerchio di centro l'origine e raggio 2 conenuto nel piano xz

che ho sbagliato?

cambiamento in coordinate cilindriche

$x=x_0+rhocostheta=rhocostheta$
$z=z_0+rhosintheta=rhosintheta$
$y=y_0+y=y$

ora il cono ha eq $y=sqrt(x^2+z^2)$ quindi $intintintydxdydz$
$0<=theta<=2pi$
$0<=rho<=2$
$0<=y<=1$

quindi se nn erro (anche se è sicuro che erro)

$int_{0}^{2pi}d theta int_{0}^{1} y dy int_{0}^{2}rhodrho=2pi$ che è diverso dal risultato $8/5pi$

che cosa ho sbagliato?...nn riesco a capirlo....

aiutoooo

grazie

ciao

Risposte

amel3

3 apr 2006, 09:19

"leonardo12345":

ora il cono ha eq $y=sqrt(x^2+z^2)$

Ma, scusa, se questa fosse la superficie conica studiata, allora il vertice non farebbe parte della superficie (1=0?!)...

Sk_Anonymous

3 apr 2006, 10:09

L'equazione del cono e':$x^2+z^2=4(1-y)^2$ e passando a coordinate cilindriche:
$rho=2(1-y)$ da cui $y=(2-rho)/2$.Pertanto il dominio d'integrazione e':
$0<=theta<=2pi,0<=rho<=2,0<=y<=(2-rho)/2$
Tuttavia anche cosi' il risultato e' $(4pi)/3$ diverso da quello del testo.
Ho calcolato che la soluzione del libro si otterrebbe se l'integrando fosse
$x^2+z^2 $ e non $sqrt(x^2+z^2)$
Vai a capire...
Archimede

Sk_Anonymous

3 apr 2006, 10:33

scusa archimede ho capito l'errore e la tua soluzione ma nn come hai ottenuto $x^2+z^2=4(1-y)^2$....mi scrivi i passaggi?

il resto l'ho capito....effettivamente nn avevo considerato la sup conica indicata dal problema!

grazie

Sk_Anonymous

3 apr 2006, 11:44

Vi sono vari modi per ottenere l'equazione richiesta;uno e' il seguente.
La sup.conica che ci interessa e' l'insieme delle semirette che uniscono
il vertice (0,1,0) con i punti della circonferenza $[x^2+z^2=4,y=0]$
Ora il punto generico di tale circonf. e' $(2costheta,0,2sintheta)$ e quindi
la retta che lo unisce al vertice e':
$x/(2costheta)=(y-1)/(-1)=z/(2sintheta)$ da cui si ricava che:
$sintheta=z/(2(1-y)),costheta=x/(2(1-y))$
Quadrando e sommando si ottiene:
$1=(z^2)/(4(1-y)^2)+(x^2)/(4(1-y)^2)$ da cui appunto $x^2+z^2=4(1-y)^2$
Archimede