Ancora integrali impropri ... dubbio?
$ int_(1)^(2) (x-1)^(5a)/(x^a - 1)^(3/2) dx ; a > 0 $
Allora devo discutere al variare del parametro la convergenza dell'integrale .
Il libro da come soluzione , banalmente :
$ a > 1/10 $
però scusate...questo avverrebbe nel caso in cui al denominatore io non avessi $ x^a $
e basterebbe usare gli integrali impropri notevoli , e giungere a quel risultato.
Però boh , non capisco perchè , e in realtà non saprei come muovermi .
Ho provato a maggiorarla , ad esempio , con : $ int_(1)^(2) (x-1)^(5a)/(x - 1)^(3/2) dx $
che è maggiore della prima solo per $ a > 1 $
ma non credo sia la strada giusta .
Ho anche pensato che lui non prende in considerazione un eventuale intorno di 2 , ma studia solo come si comporta in un intorno di 1 , quindi forse in quell'intorno $ x^a = x $ e ci si riconduce per questo agli integrali impropri notevoli .
Non lo so ...qualche idea?
grazie!
Allora devo discutere al variare del parametro la convergenza dell'integrale .
Il libro da come soluzione , banalmente :
$ a > 1/10 $
però scusate...questo avverrebbe nel caso in cui al denominatore io non avessi $ x^a $
e basterebbe usare gli integrali impropri notevoli , e giungere a quel risultato.
Però boh , non capisco perchè , e in realtà non saprei come muovermi .
Ho provato a maggiorarla , ad esempio , con : $ int_(1)^(2) (x-1)^(5a)/(x - 1)^(3/2) dx $
che è maggiore della prima solo per $ a > 1 $
ma non credo sia la strada giusta .
Ho anche pensato che lui non prende in considerazione un eventuale intorno di 2 , ma studia solo come si comporta in un intorno di 1 , quindi forse in quell'intorno $ x^a = x $ e ci si riconduce per questo agli integrali impropri notevoli .
Non lo so ...qualche idea?
grazie!
Risposte
Ciao, essendo $a>0$ non dobbiamo preoccuparci assolutamente per quando andiamo ad integrare nel punto $x=2$, dobbiamo preoccuparci invece del punto $x=1$, allora proviamo a vedere cosa succede se facciamo tendere la funzione integranda a $1$ e vediamo come si comporta:
$ lim_(x->1) (x-1)^(5a)/(x^a - 1)^(3/2) $ Possiamo sostituire a $x-1=t$ per semplicità, tanto per $x->1$ abbiamo che
$x^a - 1 $si comporta come $x-1$ (il tuo dubbio fondamentale), da qui allora $ lim_(t->0) (t)^(5a)/(t)^(3/2) $= $ lim_(t->0) (t)^(5a)/(t)^(3/2) $da qui dovresti esser capace di concludere tu stesso e se non sei capace ti consiglio di riguardarti la parte di teoria in cui avete dimostrato per quali valori di $alpha$ converge un integrale per $x->0$...è abbastanza importante se li vuoi capire bene
chiedi se hai problemi comunque..
$ lim_(x->1) (x-1)^(5a)/(x^a - 1)^(3/2) $ Possiamo sostituire a $x-1=t$ per semplicità, tanto per $x->1$ abbiamo che
$x^a - 1 $si comporta come $x-1$ (il tuo dubbio fondamentale), da qui allora $ lim_(t->0) (t)^(5a)/(t)^(3/2) $= $ lim_(t->0) (t)^(5a)/(t)^(3/2) $da qui dovresti esser capace di concludere tu stesso e se non sei capace ti consiglio di riguardarti la parte di teoria in cui avete dimostrato per quali valori di $alpha$ converge un integrale per $x->0$...è abbastanza importante se li vuoi capire bene
chiedi se hai problemi comunque..
ciao! perchè dici non dobbiamo preoccuparci del punto x=2 dato che $ a>0 $
?
Comunque grazie! quindi ci avevo azzeccato! In un intorno di 1 $ x^a $
è asintotico a $ x $
era una sorta di trabocchetto xD
?
Comunque grazie! quindi ci avevo azzeccato! In un intorno di 1 $ x^a $
è asintotico a $ x $
era una sorta di trabocchetto xD
perchè la funzione integranda in $(1,2]$ non ha punti "critici" tali che l'area diverga
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