Ancora integrale curvilineo
NON E`VENUTA BENISSIMO, CI RIPROVO
mi riferisco sempre ad un integrale curvilineo, quello citato nel precedente intervento
$int_{gamma}{sintcostdt}$ su una curva $gamma: x^2+y^2=r^2$
dove gamma è l’arco contenuto nel primo quadrante degli assi del cerchio avente centro l’origine e raggio uguale ad r.
parametrizzo per risolverlo
$x = rcos t, y = rsin t$
$x’= -rsin t, y’= rcos t$
calcolo l’integrale nel verso antiorario (positivo), da A(0,r) a B(r,0) e
$║phi’(t)║ = sqrt{x’^2+y’^2} = sqrt{r^2sin^2(t)+r^2cos^2(t} = sqrt{r^2} = r$
e l'integrale diventa $int_{0}^{pi/2}{rcost*rsintrdt} = r^3int_{0}^{pi/2}{sintcostdt}=r^3/2$
Ora se eseguo l’integrale in verso orario, ora negativo, i limiti di integrazione vanno da $pi/2$ a $0$ e il risultato sarà $–r^3/2$.
La domanda è sempre la stessa, nella speranza che il tutto sia maggiormante comprensibile.
Dove è l’inghippo?
Per trovarmi con i conti dovrei prendere come punto iniziale B(0,r) e come verso positivo quello che andrò a percorrere (quello orario, stavolta), e tutto questo dovrebbe discendere, come enunciano le varie teorie, dalla definizione di integrale curvilineo. In realtà riportano che «tale integrale non dipende nemmeno dalle eventuali orientazioni della curva alla quale è esteso» (Zwirner, Esercizi volume 2, note preliminari agli stessi).
NEED A HELP!!!!
mi riferisco sempre ad un integrale curvilineo, quello citato nel precedente intervento
$int_{gamma}{sintcostdt}$ su una curva $gamma: x^2+y^2=r^2$
dove gamma è l’arco contenuto nel primo quadrante degli assi del cerchio avente centro l’origine e raggio uguale ad r.
parametrizzo per risolverlo
$x = rcos t, y = rsin t$
$x’= -rsin t, y’= rcos t$
calcolo l’integrale nel verso antiorario (positivo), da A(0,r) a B(r,0) e
$║phi’(t)║ = sqrt{x’^2+y’^2} = sqrt{r^2sin^2(t)+r^2cos^2(t} = sqrt{r^2} = r$
e l'integrale diventa $int_{0}^{pi/2}{rcost*rsintrdt} = r^3int_{0}^{pi/2}{sintcostdt}=r^3/2$
Ora se eseguo l’integrale in verso orario, ora negativo, i limiti di integrazione vanno da $pi/2$ a $0$ e il risultato sarà $–r^3/2$.
La domanda è sempre la stessa, nella speranza che il tutto sia maggiormante comprensibile.
Dove è l’inghippo?
Per trovarmi con i conti dovrei prendere come punto iniziale B(0,r) e come verso positivo quello che andrò a percorrere (quello orario, stavolta), e tutto questo dovrebbe discendere, come enunciano le varie teorie, dalla definizione di integrale curvilineo. In realtà riportano che «tale integrale non dipende nemmeno dalle eventuali orientazioni della curva alla quale è esteso» (Zwirner, Esercizi volume 2, note preliminari agli stessi).
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Risposte
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