Ancora eq.diff.

[rico]

Ciao, scusate se rompo con queste eq.diff. ma non le ho praticamente mai fatte e in piu riprendo un po il calcolo degli integrali.
L'eq. in questione e:
$y'=cos^2(x)e^(3y)$
cond.iniziale $y(0)=1$
separanda le variabili:
$int1/(e^(3y))dy=intcos^2xdx$
qua temo di sbagliare:
$log|e^(3y)|=1/3cos^3x+C$
qua sbaglio, non so come risolvere il primo integrale...

Grazie ciao!

[rico]

potrebbe essere:
$int1/(e^(3y))dy=y/e^(3y)$??

[Fioravante Patrone1]

@Richard84

hai ragione, l'integrale è sbagliato

ma guarda che è facile, basta notare che:
$1/(e^(3y))$ = $e^(-3y)$
insomma, l'integrale è immediato

occhio anche a destra! non è corretto quell'integrale (lo vedi subuto se fai la prova derivando)

ciao

[Camillo]

Scrivilo così il primo integrale : $int e^(-3y)*dy = -(1/3)e^(-3y) +C$.
Il secondo integrale è sbagliato, va integrato per parti ; se fosse stato : $int cos^2x*sinxdx$ allora avresti ottenuto:$-(1/3)cos^3x +K$

[rico]

che scemo e vero!!
ma quindi l int di sx e $-1/3e^(-3y)$?? e quello di destra e:
$1/2[int(2cos2x)/2dx+intdx]$
pero ora non capisco come mai diventa:
$1/2x+1/4sin2x$ come mai $1/4$?e la regola di $intcos(alphax+beta)dx$??
e per parti come veniva??

[Camillo]

"richard84":che scemo e vero!!
ma quindi l int di sx e $-1/3e^(-3y)$?? e quello di destra e:
$1/2[int(2cos2x)/2dx+intdx]$
pero ora non capisco come mai diventa:
$1/2x+1/4sin2x$ come mai $1/4$?e la regola di $intcos(alphax+beta)dx$??
e per parti come veniva??

Nell secondo integrale, usando l'identità : $ cos^2x=(1/2)(cos2x+1) $ , integrando ottieni : $intcos^2xdx = (1/2)intcos2xdx+(1/2)intdx = (1/2)(sen2x)/2 +x/2= (1/2)(senxcosx+x) +C$.
Comunque integrando per parti: $int cos^2x*dx = intcosx*D(senx)*dx = senxcosx-int(-senx)(senx)dx = senxcosx+intsen^2xdx = senxcosx+int(1-cos^2x)dx= senxcosx+x-intcos^2xdx $ e quindi : $2intcos^2xdx=x+senxcosx$ da cui finalmnte:$intcos^2xdx= (1/2)(x+senxcosx)+c$