Ancora convergenza degli integrali impropri
Ciao a tutti, ho un dubbio sul valore a cui converge un integrale:
$int_0^1 xln|x/(x-1)|dx$ e cioè riscrivendolo $int_0^1 x(lnx - ln(1-x))dx$
Ora: vedo che è indefinito in entrambi gli estremi di integrazione. Uso allora il criterio del confronto asintotico:
in $0^+$ si comporta come $xlnx$ (infatti facendo il limite viene $1$), e $xlnx$ converge a $0$
in $1^-$ si comporta come $-xln(1-x)$ (infatti ecc ecc..), e $-xln(1-x)$ converge a $3/4$.
Allora posso affermare che l'integrale converge a $3/4 - 0 = 3/4$ ?? Non credo perchè la soluzione è $1/2$. Però perchè non posso farlo? Una volta trovato che converge, devo davvero ricalcolarmelo da capo (ad esempio per parti) per trovare la vera primitiva e quindi il valore??!? Non si possono sfruttare i valori di convergenza trovati col criterio del confronto asintotico??
Grazie 1000!
$int_0^1 xln|x/(x-1)|dx$ e cioè riscrivendolo $int_0^1 x(lnx - ln(1-x))dx$
Ora: vedo che è indefinito in entrambi gli estremi di integrazione. Uso allora il criterio del confronto asintotico:
in $0^+$ si comporta come $xlnx$ (infatti facendo il limite viene $1$), e $xlnx$ converge a $0$
in $1^-$ si comporta come $-xln(1-x)$ (infatti ecc ecc..), e $-xln(1-x)$ converge a $3/4$.
Allora posso affermare che l'integrale converge a $3/4 - 0 = 3/4$ ?? Non credo perchè la soluzione è $1/2$. Però perchè non posso farlo? Una volta trovato che converge, devo davvero ricalcolarmelo da capo (ad esempio per parti) per trovare la vera primitiva e quindi il valore??!? Non si possono sfruttare i valori di convergenza trovati col criterio del confronto asintotico??
Grazie 1000!
Risposte
Se calcolassi l'integrale di $f(x)=x$ tra 0 e 1 con il tuo metodo ti verrebbe 1.
La formula ti dice che $\int_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)$ dove $F$ è la primitiva di $f(x)$, sotto le opportune ipotesi.
La formula ti dice che $\int_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)$ dove $F$ è la primitiva di $f(x)$, sotto le opportune ipotesi.
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