Ancora calcolo di limiti di funzione
Si calcoli
$lim_(x->0) sin(picosx)/(xsinx)$
Ho cercato di fare in modo che l'argomento del sin mi tendesse a zero cercando un'eventuale sostituzione...Ma non riesco a venirne fuori
$lim_(x->0) sin(picosx)/(xsinx)$
Ho cercato di fare in modo che l'argomento del sin mi tendesse a zero cercando un'eventuale sostituzione...Ma non riesco a venirne fuori
Risposte
Ma questo tu non lo puoi mai fare. \(\pi \cos x\) tende a \(\pi\) quando \(x\) tende a zero, e qualsiasi sostituzione tu faccia, l'argomento di \(\sin\) tenderà sempre a \(\pi\).
Prova invece a sviluppare \(\sin y\) attorno a \(y=\pi\), arrestandoti al primo ordine:
\[\sin y=(\pi-y)+O\big( (\pi-y)^3\big),\quad y\to \pi\]
poi sostituisci \(y=\pi\cos x\) e inserisci lo sviluppo così trovato nell'espressione \(\sin (\pi\cos x) / x \sin x\). Quindi usa i limiti notevoli del seno e del coseno. A me il risultato torna essere \(\pi\).
Prova invece a sviluppare \(\sin y\) attorno a \(y=\pi\), arrestandoti al primo ordine:
\[\sin y=(\pi-y)+O\big( (\pi-y)^3\big),\quad y\to \pi\]
poi sostituisci \(y=\pi\cos x\) e inserisci lo sviluppo così trovato nell'espressione \(\sin (\pi\cos x) / x \sin x\). Quindi usa i limiti notevoli del seno e del coseno. A me il risultato torna essere \(\pi\).
Perdonami se non l'ho specificato...Ma non abbiamo studiato la teoria relativa agli ordini ($O$, come hai scritto)
PS il risultato del limite è π/2
PS il risultato del limite è π/2
Posso buttare lì un'idea? 
$ sin( \pi cosx ) = sin( \pi (cosx-1) + \pi ) = sin( \pi (cosx-1))cos \pi + cos( \pi (cosx-1)) sen \pi = - sin( \pi (cosx-1)) $
quindi applicando la sostituzione degli infinitesimi $ {- sin( \pi (cosx-1))} / {xsinx} $ diventa $ {- \pi (cosx-1)} / {x^2} $ ... sempre se non sbaglio qualche cosa (molto probabile) ...
$ sin( \pi cosx ) = sin( \pi (cosx-1) + \pi ) = sin( \pi (cosx-1))cos \pi + cos( \pi (cosx-1)) sen \pi = - sin( \pi (cosx-1)) $
quindi applicando la sostituzione degli infinitesimi $ {- sin( \pi (cosx-1))} / {xsinx} $ diventa $ {- \pi (cosx-1)} / {x^2} $ ... sempre se non sbaglio qualche cosa (molto probabile) ...
Si, \(\pi/2\), ho sbagliato nell'applicare il limite notevole del coseno ( 
). Vabbè, comunque anche senza O grandi e o piccoli vari si può calcolare lo stesso. Basta osservare che
\[\lim_{y \to \pi} \frac{\sin y}{\pi - y}= 1\]
cosa che puoi vedere pure dal grafico: intorno a \(\pi\), la funzione seno è approssimativamente una retta di coefficiente angolare \(-1\). Quindi \(\sin y \approx \pi-y\), perciò \(\sin (\pi \cos x) \approx \pi(1-\cos x)\) e inserendo questa equivalenza asintotica nel tuo esercizio puoi facilmente concludere.
PS: @perplesso: Mi pare che vada bene anche il tuo metodo. Buona idea usare le formule di addizione.
). Vabbè, comunque anche senza O grandi e o piccoli vari si può calcolare lo stesso. Basta osservare che \[\lim_{y \to \pi} \frac{\sin y}{\pi - y}= 1\]
cosa che puoi vedere pure dal grafico: intorno a \(\pi\), la funzione seno è approssimativamente una retta di coefficiente angolare \(-1\). Quindi \(\sin y \approx \pi-y\), perciò \(\sin (\pi \cos x) \approx \pi(1-\cos x)\) e inserendo questa equivalenza asintotica nel tuo esercizio puoi facilmente concludere.
PS: @perplesso: Mi pare che vada bene anche il tuo metodo. Buona idea usare le formule di addizione.
Bene, Vi ringrazio tanto...Ho svolto l'esercizio con entrambi i metodi!
A risentirci!
A risentirci!
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