Ancora alle prese con integrali impropri

[login2]

C'è un integrale improprio che non riesco a fare

$int_0^pi(cosx/(sqrt(sinx)))dx$

Facendo i limti della funzione a $0$ e $pi$ ottengo rispettivamente $+oo$ e $-oo$

Ora pensavo di agire con il criterio del confronto asintotico ma non so con cosa confrontare la funzione in questione..insomma anche se provo un $x^alpha$ qualsiasi poi non riesco più a sborgliare il limite!

Scusate ma questi integrali impropri proprio non mi vanno giù

[Noisemaker]

la funzione integranda dov è definita?

[login2]

In che senso?
La funzione da integrare sta là

[Brancaleone1]

Ehm... intendeva il dominio dell'integranda...

Comunque te la puoi cavare con poco, basta osservare con quale velocità l'integranda tende a $+oo$ per $x->0^+$.

[Noisemaker]

e ho capito! la funzione è definita quando $\sin x>0,$ cioè quando $0 $x\to0^+$
\begin{align}
\frac{\cos x}{\sqrt \sin x}\sim \frac{1}{\sqrt x}\to\mbox{converge}
\end{align}
poi quando $x\to \pi$ la funzione integranda è negativa in quanto il coseno è negativo in prossimità di $\pi$, quindi mantenendo segno costante possiamo ancora applicare il confronto asintotico applicando lo sviluppo di Taylor per la funzione seno nel punto $x=\pi$ abbiamo
$x\to\pi$
\begin{align}
\frac{\cos x}{\sqrt \sin x}\sim \frac{-1}{\sqrt{ (\pi-x)}}\to\mbox{converge}
\end{align}

[login2]

Grazie ragazzi!
Proprio non riesco a capire perchè non riesco a trovare l'imput per svolgere questi esercizi..
Avete consgili da dare in merito?

[Obidream]

Ti quoto un'esercizio svolto da Noisemaker qualche tempo fa
Comunque sia, tu quando hai di fronte un integrale improprio controlla sempre come si comporta la tua integranda.. ad esempio $int_0^(+oo)1/x dx$, è un integrale improprio sia perché vi è un $oo$ negli estremi di integrazione, sia perché l'integranda non è definita in $0$ quindi occorre spezzare l'integrale in $int_0^a 1/x dx+int_a^(+oo) 1/x dx$ per avere solamente integrali di prima e seconda specie ( l'integrale di partenza converge se e solo se convergono entrambi).. in questo caso ci va bene un $a in RR$ perché l'integranda è definita su tutto $RR$ eccetto che $0$... Una volta fatto questo, il passo successivo è spiegato molto bene qui sotto:

"Noisemaker":allora la prima cosa da fare difronte ad un integrale, improprio, è capire come si comporta la funzione integranda nell'intervallo di integrazione, che in questo caso è $(2,\+infty)$ in quanto sai che per essere integrabile una funzione deve essere continua nell'intervallo in cui si vuole calcolare l'integrale; si osserva allora che
\begin{align} f(x):=\frac{1}{\sqrt{x+2}(x-2)^{3\alpha}} \end{align}
è definita per $x> -2, x\ne2$ e dunque nell'intervallo $(2,\+infty)$ non è definita in entrambi gli estremi di integrazione, e dunque l'integrale in tale intervallo risulta improrpio in $x=2$ e a $+\infty;$ inoltre la funzione integranda risulta positiva per ogni valore di di $x\in(2,\+infty) $ e dunqne è possibile considerare il comportamento asintotico della fuznione integranda quando $x$ tende agli estremi dell'intervallo di integrazione.
Consideriamo i due casi:

$x\to2^+$
\begin{align} \frac{1}{\sqrt{x+2}(x-2)^{3\alpha}}= \frac{1}{ (x+2)^{\frac{1}{2}}(x-2)^{3\alpha}}\sim \frac{1}{ C\cdot (x-2)^{3\alpha}}\to\mbox{converge se } \,\,\,3\alpha<1,\,\,\,\alpha<\frac{1}{3} \end{align}

dunque l'integrale risulta convergente, per $x\to2^+$, per $\alpha<\frac{1}{3}.$ Consideriamo il secondo caso:

$x\to+\infty$

\begin{align} \frac{1}{\sqrt{x+2}(x-2)^{3\alpha}}= \frac{1}{ (x+2)^{\frac{1}{2}}(x-2)^{3\alpha}}\sim \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}x^{3\alpha}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}+3\alpha }} \to\mbox{converge se } \,\,\,\frac{1}{2}+3\alpha>1,\,\,\,\alpha>\frac{1}{6} \end{align}

dunque l'integrale risulta convergente, per $x\to+\infty$, per $\alpha>\frac{1}{6}.$ Allora possiamo concludere che nell'intervallo $x\in(2,\+infty) $ la funzione risulta integrabile, o l'integrale risulta convergente per i valori di $\alpha$ tali che $\frac{1}{6}< \alpha<\frac{1}{3}$

[login2]

Grazie obidream..ora mi vado a studiare l'esercizio in questione