Analsi 2 - Limiti
Buonasera! 
Volevo articolare il post in due diversi quesiti, comunque inerenti allo stesso argomento, in modo da non intasare il forum. Chiedo scusa se non li ho presentati nella maniera giusta. Eccoli:
1) Dato il $ lim_((xy)rarr(0,0)) -1/2 (x^2y^2)/(x^2+y^2) $ , lo si risolve scrivendo:
$ 0<=|-1/2 (x^2y^2)/(x^2+y^2)|<= 1/2(x^2y^2)/(x^2+y^2)<=1/2x^2 $
quello che non mi è chiaro è come il termine $y^2/(x^2+y^2)$ sia minore di 1.
2) Entrambi i limiti:
$ lim_((xy)rarr(0,0)) (xy)/(x^2+y^2) $ e $ lim_((xy)rarr(0,0)) y/x $
non esistono.
Ho una vaga idea sul fatto che le variabili x e y siano indipendenti, ma vorrei rendere la motivazione più concreta.
Vi ringrazio
Volevo articolare il post in due diversi quesiti, comunque inerenti allo stesso argomento, in modo da non intasare il forum. Chiedo scusa se non li ho presentati nella maniera giusta. Eccoli:
1) Dato il $ lim_((xy)rarr(0,0)) -1/2 (x^2y^2)/(x^2+y^2) $ , lo si risolve scrivendo:
$ 0<=|-1/2 (x^2y^2)/(x^2+y^2)|<= 1/2(x^2y^2)/(x^2+y^2)<=1/2x^2 $
quello che non mi è chiaro è come il termine $y^2/(x^2+y^2)$ sia minore di 1.
2) Entrambi i limiti:
$ lim_((xy)rarr(0,0)) (xy)/(x^2+y^2) $ e $ lim_((xy)rarr(0,0)) y/x $
non esistono.
Ho una vaga idea sul fatto che le variabili x e y siano indipendenti, ma vorrei rendere la motivazione più concreta.
Vi ringrazio
Risposte
$y^2/(y^2+x^2)=(y^2+x^2-x^2)/(y^2+x^2)=(y^2+x^2)/(y^2+x^2)-x^2/(y^2+x^2)$
Interessante. Per il secondo?
Mai avuto il piacere di studiare tali argomenti ... 
... sorry ... tocca ad altri ...
... sorry ... tocca ad altri ...
Io sapevo che potevi trasformare il sistema da cartesiano a polare ritrovandoti a calcolare un limite normale nell'incognita $\rho$
$y^2/(x^2+y^2)<=1$
$ y^2<=x^2+y^2$
$x^2>=0$ e quindi è dimostrato
Nel secondo, per dimostrare che un limite non esiste allora basta trovare 2 direzioni in cui il limite è diverso.
$f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2)$ , la funzione sull'asse delle y è $f(t,0)=g(t)=0$ e quindi $lim_(t->0) g(t)=0$
Sulla bisettrice la funzione è $f(t,t)=h(t)=t^2/(2t^2)=1/2$ e quindi $lim_(t->0) h(t)=1/2$
I due limiti sono diversi, quindi $f(x,y)$ non ammette limite in $(0,0)$.
L'altro limite si dimostra in modo analogo
Per direzione non intendo solo rette, potresti anche considerare $f(e^t-1,t^54)=g(t)$, l'importante è che quando $t->0$ allora entrambe le coordinate tendono a $0$. Esistono funzioni che hanno il limite uguale su tutte le rette, ma il limite non esiste lo stesso
$ y^2<=x^2+y^2$
$x^2>=0$ e quindi è dimostrato
Nel secondo, per dimostrare che un limite non esiste allora basta trovare 2 direzioni in cui il limite è diverso.
$f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2)$ , la funzione sull'asse delle y è $f(t,0)=g(t)=0$ e quindi $lim_(t->0) g(t)=0$
Sulla bisettrice la funzione è $f(t,t)=h(t)=t^2/(2t^2)=1/2$ e quindi $lim_(t->0) h(t)=1/2$
I due limiti sono diversi, quindi $f(x,y)$ non ammette limite in $(0,0)$.
L'altro limite si dimostra in modo analogo
Per direzione non intendo solo rette, potresti anche considerare $f(e^t-1,t^54)=g(t)$, l'importante è che quando $t->0$ allora entrambe le coordinate tendono a $0$. Esistono funzioni che hanno il limite uguale su tutte le rette, ma il limite non esiste lo stesso
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