Analsi 2 - Derivabilità funzione
Ciao a tutti! 
Data la funzione: $ f_(alpha)={ ( (|xy|^alpha)/(x^2+y^2)harr (x,y)!=(0,0) ),( 0 harr (x,y)=(0,0) ):} $
Se ne devono calcolare le derivate parziali "nei punti degli assi cartesiani", al variare di $alpha$
Ora, chiaro che lungo entrambe le direzioni x e y, ovvero nei punti (x,0) e (y,0), avrò derivate nulle;
il problema sorge quando cerco le derivate nei punti $(x_(0),y)$ e $(x,y_(0))$. Infatti nel primo caso ottengo:
$ lim_(yrarr0) (|x_(0)y|^alpha)/(y(x_(0)^2+y^2)) $
che a causa della presenza del modulo non saprei proprio come discutere...
Ad esempio, è lecito dire che: $ |y|^alpha/y=|y|^(alpha-1) $ ? Come mi comporto in questo caso?
Grazie in anticipo!
Data la funzione: $ f_(alpha)={ ( (|xy|^alpha)/(x^2+y^2)harr (x,y)!=(0,0) ),( 0 harr (x,y)=(0,0) ):} $
Se ne devono calcolare le derivate parziali "nei punti degli assi cartesiani", al variare di $alpha$
Ora, chiaro che lungo entrambe le direzioni x e y, ovvero nei punti (x,0) e (y,0), avrò derivate nulle;
il problema sorge quando cerco le derivate nei punti $(x_(0),y)$ e $(x,y_(0))$. Infatti nel primo caso ottengo:
$ lim_(yrarr0) (|x_(0)y|^alpha)/(y(x_(0)^2+y^2)) $
che a causa della presenza del modulo non saprei proprio come discutere...
Ad esempio, è lecito dire che: $ |y|^alpha/y=|y|^(alpha-1) $ ? Come mi comporto in questo caso?
Grazie in anticipo!
Risposte
C'è qualcosa che non capisco. I punti degli assi cartesiani sono delle forma $(x_0,0)$ (asse delle ascisse) e $(0,y_0)$ (asse delle ordinate). Pertanto al fine di calcolare le derivate parziali devi calcolare i seguenti limiti
$$\frac{\partial f_\alpha}{\partial x}(x_0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_\alpha(x_0+h,0)-f_\alpha(x_0,0)}{h}\\
\frac{\partial f_\alpha}{\partial x}(0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_\alpha(h,y_0)-f_\alpha(0,y_0)}{h}\\
\frac{\partial f_\alpha}{\partial y}(x_0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_\alpha(x_0,h)-f_\alpha(x_0,0)}{h}\\
\frac{\partial f_\alpha}{\partial y}(0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_\alpha(0,y_0+h)-f_\alpha(0,y_0)}{h}$$
da cui è ovvio che
$$\frac{\partial f_\alpha}{\partial x}(x_0,0)=0 \qquad \frac{\partial f_\alpha}{\partial y}(0,y_0)=0$$
Ora ti restano le altre due derivate: per la prima si ha
$$\frac{\partial f_\alpha}{\partial x}(0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_\alpha(h,y_0)-f_\alpha(0,y_0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h\cdot y_0|^\alpha}{h(h^2+y_0^2)}=\frac{|y_0|^\alpha}{y_0^2}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{|h|^\alpha}{h}$$
Per discutere quest'ultimo limite, basta fare un ragionamento su infinitesimi: se $\alpha>1$, allora la numeratore hai un infinitesimo di ordine superiore e il limite vale $0$. Se invece $0<\alpha< 1$ allora stavolta hai a denominatore l'infinitesimo di ordine superiore, e quindi il limite vale $\infty$ (non stiamo a scervellarci sul segno: una volta che il limite è infinito la derivata parziale non esiste). Infine, nel caso di $\alpha=1$ il limite non esiste, in quanto a seconda che $h\to 0^\pm$ si ha limite $\pm 1$. Possiamo allora concludere che le ultime due derivate parziali esistono solo per $\alpha>1$ e valgono zero (sui punti degli assi).
DOMANDA: cosa accade in $(0,0)$?
$$\frac{\partial f_\alpha}{\partial x}(x_0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_\alpha(x_0+h,0)-f_\alpha(x_0,0)}{h}\\
\frac{\partial f_\alpha}{\partial x}(0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_\alpha(h,y_0)-f_\alpha(0,y_0)}{h}\\
\frac{\partial f_\alpha}{\partial y}(x_0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_\alpha(x_0,h)-f_\alpha(x_0,0)}{h}\\
\frac{\partial f_\alpha}{\partial y}(0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_\alpha(0,y_0+h)-f_\alpha(0,y_0)}{h}$$
da cui è ovvio che
$$\frac{\partial f_\alpha}{\partial x}(x_0,0)=0 \qquad \frac{\partial f_\alpha}{\partial y}(0,y_0)=0$$
Ora ti restano le altre due derivate: per la prima si ha
$$\frac{\partial f_\alpha}{\partial x}(0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_\alpha(h,y_0)-f_\alpha(0,y_0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h\cdot y_0|^\alpha}{h(h^2+y_0^2)}=\frac{|y_0|^\alpha}{y_0^2}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{|h|^\alpha}{h}$$
Per discutere quest'ultimo limite, basta fare un ragionamento su infinitesimi: se $\alpha>1$, allora la numeratore hai un infinitesimo di ordine superiore e il limite vale $0$. Se invece $0<\alpha< 1$ allora stavolta hai a denominatore l'infinitesimo di ordine superiore, e quindi il limite vale $\infty$ (non stiamo a scervellarci sul segno: una volta che il limite è infinito la derivata parziale non esiste). Infine, nel caso di $\alpha=1$ il limite non esiste, in quanto a seconda che $h\to 0^\pm$ si ha limite $\pm 1$. Possiamo allora concludere che le ultime due derivate parziali esistono solo per $\alpha>1$ e valgono zero (sui punti degli assi).
DOMANDA: cosa accade in $(0,0)$?
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