Analiticità di una funzione complessa
Ciao a tutti, c'è un esercizio che mi chiede di determinare il dominio di analiticità della seguente funzione complessa:
$f(z)=sqrt(r)*e^(i*theta/2)$,
in coordinate polari.
Ho svolto l'esercizio con le condizioni di Cauchy-Riemann (polari), molto semplice.
Per me quindi il dominio di analiticità è semplicemente r>0.
Perchè sulla soluzione mi porta, oltre a r>0, anche la condizione $alpha
Perchè non può "fare più di un giro"?
Inoltre, lo stesso esercizio risolto da un'altra parte riporta come dominio:
$C - {-t, 0=
Fabio
$f(z)=sqrt(r)*e^(i*theta/2)$,
in coordinate polari.
Ho svolto l'esercizio con le condizioni di Cauchy-Riemann (polari), molto semplice.
Per me quindi il dominio di analiticità è semplicemente r>0.
Perchè sulla soluzione mi porta, oltre a r>0, anche la condizione $alpha
Perchè non può "fare più di un giro"?
Inoltre, lo stesso esercizio risolto da un'altra parte riporta come dominio:
$C - {-t, 0=
Fabio
Risposte
La funzione che hai scritto, posta in coordinate cartesiane, è
$f(z)=\sqrt{z}$
la quale, come tutte le funzioni "radice" di un numero complesso è "a più valori" o, come si suol dire, presenta più rami. Come giustamente osservavi, permettere a $\theta$ di assumere valori in un intervallo che abbia diametro maggiore di $2\pi$ porta a "disegnare" tale funzione come una serie di dischi sovrapposti... e questo, ovviamente, va contro prima di ogni altra cosa alla definizione di "funzione" prima che a quella di analiticità.
La questione è comunque abbastanza delicata e quello che ho detto qui è solo il motivo "intuitivo" del perché tu debba imporre quella condizione.
Inoltre due osservazioni: sei sicuro che l'intervallo abbia diametro $2\pi$ e non $4\pi$? E punto 2, non ho ben capito cosa è quell'insieme $C$.
$f(z)=\sqrt{z}$
la quale, come tutte le funzioni "radice" di un numero complesso è "a più valori" o, come si suol dire, presenta più rami. Come giustamente osservavi, permettere a $\theta$ di assumere valori in un intervallo che abbia diametro maggiore di $2\pi$ porta a "disegnare" tale funzione come una serie di dischi sovrapposti... e questo, ovviamente, va contro prima di ogni altra cosa alla definizione di "funzione" prima che a quella di analiticità.
La questione è comunque abbastanza delicata e quello che ho detto qui è solo il motivo "intuitivo" del perché tu debba imporre quella condizione.
Inoltre due osservazioni: sei sicuro che l'intervallo abbia diametro $2\pi$ e non $4\pi$? E punto 2, non ho ben capito cosa è quell'insieme $C$.
@SaturnV
Alle cose scritte da ciampax, aggiungo che comprendo la tua perplessità.
Il "mistero" comunque svanisce se osservi che l'espressione data NON ti dà i valori della funzione in termini di $z$, ma mediante $\rho$ e $\theta$.
Quindi l'inghippo è dovuto a questo "passaggio intermedio" (o cambio di coordinate, o composizione di funzione: vedilo come vuoi).
Alle cose scritte da ciampax, aggiungo che comprendo la tua perplessità.
Il "mistero" comunque svanisce se osservi che l'espressione data NON ti dà i valori della funzione in termini di $z$, ma mediante $\rho$ e $\theta$.
Quindi l'inghippo è dovuto a questo "passaggio intermedio" (o cambio di coordinate, o composizione di funzione: vedilo come vuoi).
Sì, sono sicuro che il diametro riportato sulla soluzione è $2*pi$
Il C che ho indicato è l'insieme dei numeri complessi, la scrittura indica "C privato di quell'insieme indicato fra parentesi graffe"... il problema è quello... Non capisco come si faccia a togliere a C una... "semiretta"...!
Grazie!
Fabio
Il C che ho indicato è l'insieme dei numeri complessi, la scrittura indica "C privato di quell'insieme indicato fra parentesi graffe"... il problema è quello... Non capisco come si faccia a togliere a C una... "semiretta"...!
Grazie!
Fabio
E cosa ci vuole? $\mathbb{C}$ è il piano e quindi l'insieme su cui la funzione è analitica è tutto il piano privato della semiretta sinistra dell'asse $x$.
Per quanto riguarda il diametro, sì, deve essere $2\pi$ perché la radice, avendo le determinazioni positive e negative, o meglio, doppie (stiamo parlando di radice quadrata di un numero complesso) ha i valori posti a distanza angolare di $\pi$ (e quindi diametralmente opposti) e quindi basta avere l'angolo variabile in un intervallo di ampiezza $2\pi$.
Per quanto riguarda il diametro, sì, deve essere $2\pi$ perché la radice, avendo le determinazioni positive e negative, o meglio, doppie (stiamo parlando di radice quadrata di un numero complesso) ha i valori posti a distanza angolare di $\pi$ (e quindi diametralmente opposti) e quindi basta avere l'angolo variabile in un intervallo di ampiezza $2\pi$.
Già. Ho capito.
Grazie mille.
Fabio
Grazie mille.
Fabio
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