Analiticità di una funzione
Perchè la funzione f(z)=|z| è ovunque singolare mentre la funzione f(z)=|z|^2 è analitica soltanto per z=0?
Me lo dimostrereste?..
Me lo dimostrereste?..
Risposte
ma $ f(z)= |z|^2 $ non è analitica in z=0.
anzi
non è analitica in nessun punto del piano complesso!!!!!
per dimostrarlo usa le condizioni di Cauchy-Riemann e la definizione di analiticità!
anzi
non è analitica in nessun punto del piano complesso!!!!!
per dimostrarlo usa le condizioni di Cauchy-Riemann e la definizione di analiticità!
"Cantaro86":
ma $ f(z)= |z|^2 $ non è analitica in z=0.
anzi
non è analitica in nessun punto del piano complesso!!!!!
per dimostrarlo usa le condizioni di Cauchy-Riemann e la definizione di analiticità!
Anche senza usare Cauchy-Riemann:
basta osservare che la funzione è a valori reali.
Francesco Daddi
No ma allora c'è qualcosa che non va...vi cito testualmente quello che c'è scritto nelle mie dispense:
'La funzione $f(z)=|z|$ è ovunque singolare: infatti, essendo $|z|=sqrt(x^2+y^2)$, si trova $u=sqrt(x^2+y^2)$, $v=0$ e quindi non esistono punti $z$ nei quali sono soddisfatte le condizioni di Cauchy-Riemann.
La funzione $f(z)=|z|^2$ è analitica soltanto in $z=0$, essendo $u=x^2+y^2$ e $v=0$.'
Io proprio non riesco a capirne il motivo
'La funzione $f(z)=|z|$ è ovunque singolare: infatti, essendo $|z|=sqrt(x^2+y^2)$, si trova $u=sqrt(x^2+y^2)$, $v=0$ e quindi non esistono punti $z$ nei quali sono soddisfatte le condizioni di Cauchy-Riemann.
La funzione $f(z)=|z|^2$ è analitica soltanto in $z=0$, essendo $u=x^2+y^2$ e $v=0$.'
Io proprio non riesco a capirne il motivo
vabbè, certo, $|z|^2$ è differenziabile e CR valgono in $z=0$ per $|z|^2$ perché si annulla tutto:
$u_x = 2x$ che calcolato nell'origine dà $0 = v_y$
$u_y = 2y$ che calcolato nell'origine dà $0 = -v_x$
$u_x = 2x$ che calcolato nell'origine dà $0 = v_y$
$u_y = 2y$ che calcolato nell'origine dà $0 = -v_x$
Grazie irenze! 
Vorrei chiederti un'altra cosa: ma perchè in questa funzione qui di seguito $u$ e $v$ risultano essere così? Come si è arrivati a definirli in quel modo?
'La funzione $f(z)=z^-1$ è analitica in tutti gli $z$, infinito compreso, escluso $z=0$, essendo $u=x(x^2+y^2)^-1$, $v=-y(x^2+y^2)^-1$.'
Vorrei chiederti un'altra cosa: ma perchè in questa funzione qui di seguito $u$ e $v$ risultano essere così? Come si è arrivati a definirli in quel modo?
'La funzione $f(z)=z^-1$ è analitica in tutti gli $z$, infinito compreso, escluso $z=0$, essendo $u=x(x^2+y^2)^-1$, $v=-y(x^2+y^2)^-1$.'
Credo che una funzione definita su un aperto $U$ di $CC$ a valori su un pezzo di una curva
non sia analitica su $U$.
Francesco Daddi
non sia analitica su $U$.
Francesco Daddi
"Metodi":
Grazie irenze!
Vorrei chiederti un'altra cosa: ma perchè in questa funzione qui di seguito $u$ e $v$ risultano essere così? Come si è arrivati a definirli in quel modo?
'La funzione $f(z)=z^-1$ è analitica in tutti gli $z$, infinito compreso, escluso $z=0$, essendo $u=x(x^2+y^2)^-1$, $v=-y(x^2+y^2)^-1$.'
Beh, basta moltiplicare numeratore e denominatore entrambi per $\bar{z}$!
Sotto hai $|z|^2$ e sopra $\bar{z}$, dopodiché basta separare parte reale e parte immaginaria.
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