AnalisiLin: la derivata prima in $C^1(a,b)$

Sk_Anonymous
Siano $a, b \in \mathbb{R}$, con $a < b$, e $C^k(a,b)$ lo spazio delle funzioni k volte derivabili con continuità in $[a,b]$ con la metrica usuale dell'uniforme convergenza, i.e. la metrica indotta dalla norma $|| \cdot $|$|_k$ $: C^k(a,b) \to \mathbb{R}: f \to \sum_{i=0}^k $s$up_{x \in [a,b]} |f^{(k)}(x)|$. Stabilire se l'operatore $T: C^1(a,b) \to C^0(a,b): f \to \frac{d}{dx} f$ è continuo.

N.B.: agli estremi dell'intervallo $[a,b]$ le derivate s'intendono monolatere.

EDIT: fissati alcuni dettagli nella traccia del problema e levato di torno il superfluo.

Risposte
david_e1
Allora siccome:

$\forall x \in C^1([a,b]) \quad || x ||_1 = ||x||_0 + ||x'||_0 = ||x||_0+ ||Tx||_0$

abbiamo:

$ ||Tx||_0 = ||x||_1 - ||x||_0 \leq ||x||_1 $

quindi:

$ ||Tx||_0 \leq ||x||_1 $

questo ci dá la continuitá di $T$.

Sk_Anonymous
Oui, oui, david_e, très bien! Edito il mio primo post, ci sono un paio di sbavature nella traccia del problema che vojo correggere.

Sk_Anonymous
Adesso una variante:

"DavidHilbert":
Nelle stesse notazioni di prima, e ammettendo di adottare questa volta tanto in $C^1(a,b)$ quanto in $C^0(a,b)$ la metrica indotta dalla norma $||$ |$|_0$, stabilire se $T$ è ancora continua.

david_e1
"DavidHilbert":
Adesso una variante:

[quote="DavidHilbert"]Nelle stesse notazioni di prima, e ammettendo di adottare questa volta tanto in $C^1(a,b)$ quanto in $C^0(a,b)$ la metrica indotta dalla norma $||$ |$|_0$, stabilire se $T$ è ancora continua.
[/quote]
Ora $T$ non é piú continua. Per rendersene conto basta studiare cosa succede a $T$ con la famiglia di funzioni:

$ f_{\epsilon}(x) = \epsilon cos(1/\epsilon x) \qquad \epsilon > 0$

In particolare quando $\epsilon \to 0^+$

Sk_Anonymous
Già.

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