Analisi2,max e min con vincoli
ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano riguardo ad un tipo di esercizio che non mi è molto chiaro.
"Trovare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione nell'insieme K"
f(x,y,z)= cos ( x² + y ² + z² )
nell'insieme K={ (x,y,z ) ϵ R³ : x² ≥ 4 (y² + z²) , |x| ≤ 2 }
ho cercato su internet ma non ho trovato una regola generale per risolverli, anche perché di solito sono esercizi che in R² si risolvono con il metodo del moltiplicatori di lagrange o con il metodo di sostituzione, ma in questo caso non saprei proprio come fare. Il mio problema è capire come si comporta la funzione sui vincoli, qualche suggerimento?
"Trovare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione nell'insieme K"
f(x,y,z)= cos ( x² + y ² + z² )
nell'insieme K={ (x,y,z ) ϵ R³ : x² ≥ 4 (y² + z²) , |x| ≤ 2 }
ho cercato su internet ma non ho trovato una regola generale per risolverli, anche perché di solito sono esercizi che in R² si risolvono con il metodo del moltiplicatori di lagrange o con il metodo di sostituzione, ma in questo caso non saprei proprio come fare. Il mio problema è capire come si comporta la funzione sui vincoli, qualche suggerimento?
Risposte
Che io sappia, i moltiplicatori di Lagrange (o la sostituzione) si usano quando i vincoli sono espressi da uguaglianze. Quando i vincoli sono espressi da disuguaglianze ci sono altri metodi, il teorema più importante a questo riguardo è il Teorema di Kuhn-Tucker, ma mi sembra strano che si faccia ad analisi2, boh?
Però penso che si può fare usando i moltiplicatori di Lagrange sul 'bordo' dell'insieme (chiuso) definito dai vincoli (cioè ponendo i vincoli in forma di uguaglianza), e poi cercare eventuali massimi e minimi all'interno del chiuso con il solito metodo per i massimi e minimi liberi, cioè il gradiente che si annulla etc. Ricordo sicuramente sercizi fatti così.
Se hai modo di guardare il volume2 parte seconda di Marcellini-Sbordone 'Esercitazioni di matematica', esempi di questo metodo ci stanno, nel paragrafo 'Massimi e minimi assoluti'
"silverjackal93":
ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano riguardo ad un tipo di esercizio che non mi è molto chiaro.
"Trovare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione nell'insieme K"
f(x,y)= cos ( x² + y ² + z² )
nell'insieme K={ (x,y,z ) ϵ R³ : x² ≥ 4 (y² + z²) , |x| ≤ 2 }
ho cercato su internet ma non ho trovato una regola generale per risolverli, anche perché di solito sono esercizi che in R² si risolvono con il metodo del moltiplicatori di lagrange o con il metodo di sostituzione, ma in questo caso non saprei proprio come fare. Il mio problema è capire come si comporta la funzione sui vincoli, qualche suggerimento?
Ciao e benvenuto sul forum,
c'è qualcosa che mi sfugge...
$f(x,y)= cos ( x² + y ² + z² ) $
quante variabili ha questa funzione? 2 o 3?
"gio73":
[quote="silverjackal93"]ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano riguardo ad un tipo di esercizio che non mi è molto chiaro.
"Trovare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione nell'insieme K"
f(x,y)= cos ( x² + y ² + z² )
nell'insieme K={ (x,y,z ) ϵ R³ : x² ≥ 4 (y² + z²) , |x| ≤ 2 }
ho cercato su internet ma non ho trovato una regola generale per risolverli, anche perché di solito sono esercizi che in R² si risolvono con il metodo del moltiplicatori di lagrange o con il metodo di sostituzione, ma in questo caso non saprei proprio come fare. Il mio problema è capire come si comporta la funzione sui vincoli, qualche suggerimento?
Ciao e benvenuto sul forum,
c'è qualcosa che mi sfugge...
$f(x,y)= cos ( x² + y ² + z² ) $
quante variabili ha questa funzione? 2 o 3?[/quote]
ciao e grazie mille, si scusami volevo scrivere $ f(x,y,z) $ , c'era un'errore di stampa nel testo dell'esame e non lo avevo notato, ho corretto. Gabriella si ,da quello che ho capito bisogna studiare i vincoli interni con il solito metodo, e dopo studiarli sul fronte con l'uguaglianza, ed è proprio qui che mi blocco. Quel libro provo a guardarmelo domani, speriamo che mi sia d'aiuto.
Qui sostanzialmente i massimi e i minimi sono delle sfere concentriche.
Intanto hai un massimo nell'origine per chè li $cos(0)=1$.
Poi rimanendo all'interno del dominio (dopo vediamo la frontiera), il primo (e unico) minimo lo incontriamo a $(x^2+y^2+z^2)=\pi$.
Il massimo successivo sarebbe a $2\pi$ ma siamo già fuori dal dominio che arriva solo fino a $\rho^2=5$.
Discorsi analoghi si fanno per la parete laterale del cono, dove il minimo a $\rho^2=\pi$ è una circonferenza sul piano $x=\sqrt(4/5\pi)$, di raggio $\sqrt(1/5\pi)$ e centro sull'asse x.
Sulla base del cono non ci sono estremi per ragionamenti analoghi.
Quindi sulla circonferenza che delimita la base del cono c' è un massimo, perchè li siamo a $\rho^2=5$, quindi siamo nell'intervallo di crescenza del coseno.
Il tutto va ripetuto in modo speculare sull'asse x negativo, siccome x compare sempre al quadrato.
Intanto hai un massimo nell'origine per chè li $cos(0)=1$.
Poi rimanendo all'interno del dominio (dopo vediamo la frontiera), il primo (e unico) minimo lo incontriamo a $(x^2+y^2+z^2)=\pi$.
Il massimo successivo sarebbe a $2\pi$ ma siamo già fuori dal dominio che arriva solo fino a $\rho^2=5$.
Discorsi analoghi si fanno per la parete laterale del cono, dove il minimo a $\rho^2=\pi$ è una circonferenza sul piano $x=\sqrt(4/5\pi)$, di raggio $\sqrt(1/5\pi)$ e centro sull'asse x.
Sulla base del cono non ci sono estremi per ragionamenti analoghi.
Quindi sulla circonferenza che delimita la base del cono c' è un massimo, perchè li siamo a $\rho^2=5$, quindi siamo nell'intervallo di crescenza del coseno.
Il tutto va ripetuto in modo speculare sull'asse x negativo, siccome x compare sempre al quadrato.
Scolta a me, per inquadrare il problema. E' l'analogo in R^n di trovare una massimo o un minimo di una funzione da R a R su un intervallo chiuso. Per il teorema di Weiestrass, esiste il massimo o il minimo, che può stare in un punto interno o su un estremo dell'intervallo. Qui c'è un insieme compatto (chiuso e limitato) di R^n, quindi vale ancora Weiestrass (nella versione a più variabili). Quindi guardo all'interno dell'insieme (ponendo il gradiente uguale a zero)e vedo se c'è qualche max o min locale, e poi guardo il bordo (con i moltiplicatori di Lagrange, pongo i vincoli =0 e faccio i moltiplicatori di Lagrange sul bordo) e vedo dove stanno max o min sul bordo. A questo punto (in analogia con il caso da R a R) confronto i valori della funzione nei max o min locali all'interno con i valori dei max o min sul bordo, e trovo il max o min assoluto. Detto a parole sembra complicato, ma non lo è tanto. Guarda esercizi svolti su Marcellini -Sbordone.
errata corrige: intervallo chiuso e limitato (in R)
"silverjackal93":
[quote="gio73"][quote="silverjackal93"]ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano riguardo ad un tipo di esercizio che non mi è molto chiaro.
"Trovare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione nell'insieme K"
f(x,y)= cos ( x² + y ² + z² )
nell'insieme K={ (x,y,z ) ϵ R³ : x² ≥ 4 (y² + z²) , |x| ≤ 2 }
ho cercato su internet ma non ho trovato una regola generale per risolverli, anche perché di solito sono esercizi che in R² si risolvono con il metodo del moltiplicatori di lagrange o con il metodo di sostituzione, ma in questo caso non saprei proprio come fare. Il mio problema è capire come si comporta la funzione sui vincoli, qualche suggerimento?
Ciao e benvenuto sul forum,
c'è qualcosa che mi sfugge...
$f(x,y)= cos ( x² + y ² + z² ) $
quante variabili ha questa funzione? 2 o 3?[/quote]
ciao e grazie mille, si scusami volevo scrivere $ f(x,y,z) $ , c'era un'errore di stampa nel testo dell'esame e non lo avevo notato, ho corretto. Gabriella si ,da quello che ho capito bisogna studiare i vincoli interni con il solito metodo, e dopo studiarli sul fronte con l'uguaglianza, ed è proprio qui che mi blocco. Quel libro provo a guardarmelo domani, speriamo che mi sia d'aiuto.[/quote]
Ma cos'èche ti blocca sul fronte con l'uguaglianza?
"Quinzio":
Qui sostanzialmente i massimi e i minimi sono delle sfere concentriche.
Intanto hai un massimo nell'origine per chè li $cos(0)=1$.
Poi rimanendo all'interno del dominio (dopo vediamo la frontiera), il primo (e unico) minimo lo incontriamo a $(x^2+y^2+z^2)=\pi$.
Il massimo successivo sarebbe a $2\pi$ ma siamo già fuori dal dominio che arriva solo fino a $\rho^2=5$.
ma quindi, visto che cerco solo i massimi e minimi assoluti, e conoscendo il comportamento del coseno, è possibile andare a vedere subito dove la funzione assume il valor massimo e minimo , controllando che siano all'interno del cono, "fregandomene" dei valori che assume la funzione sul bordo di quest'ultimo?
e poi un'altra cosa, in questo caso:
"Trovare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione nell'insieme K"
$ f=x^2+y^2+z^2 $ in $ K={ (x,y,z ) ϵ R³ : x² ≥ 4 (y² + z²) , |x| ≤ 2 } $
se ho capito bene, essendo K , sull'asse delle x positive,un cono che ha il centro della base in $(2,0,0)$ e raggio $4$ , è corretto dire che il max li trovo su tutti i punti che formano la circonferenza della base, mentre il minimo è nell'origine? (ovviamente per simmetria anche per le x negative).
oppure il massimo lo trovo solo nel punto $(2,0,4)$ e minimo $(2,0,-4)$ ? probabilmente confondo il problema con un altro, dove venivano richiesti i punti che distano la massima o minima distanza dall'origine, ma per chiarezza chiedo conferma a voi.
Spero di avere capito la tua domanda, se te ne puoi fregare di guardare la frontiera del dominio.In generale, in un primo momento te ne DEVI fregare, poi dopo no. Direi:
Passo 1) (fregarsene della frontiera): determinare, ponendo uguale a zero il gradiente, i punti critici all'interno del dominio.
Passo 2) guardare la frontiera, e determinare i punti critici sulla frontiera.
Passo 3) supponendo che tali punti critici siano in numero finito, calcolare il valore della funzione in quei punti; il più grande è il massimo assoluto, il più piccolo è il minimo assoluto.
Nel caso specifico del cono, da un punto di vista geometrico non ti so rispondere.
Se sei in difficoltà a guardare la frontiera con sostituzioni o considerazioni geometriche, o se i vincoli sono complicati, puoi sempre usare i moltiplicatori di Lagrange, è il metodo più generale. Nel tuo caso, poni i vincoli come uguaglianza 0 e scrivi la lagrangiana:
$ L = cos (x^2+y^2+z^2)+lambda (x^2-4(y^2+z^2))+gamma (x-2)+beta (x+2) $
dove $ lambda , gamma, beta $ sono i moltiplicarori di Lagrange,e cerchi i punti critici di L.
Passo 1) (fregarsene della frontiera): determinare, ponendo uguale a zero il gradiente, i punti critici all'interno del dominio.
Passo 2) guardare la frontiera, e determinare i punti critici sulla frontiera.
Passo 3) supponendo che tali punti critici siano in numero finito, calcolare il valore della funzione in quei punti; il più grande è il massimo assoluto, il più piccolo è il minimo assoluto.
Nel caso specifico del cono, da un punto di vista geometrico non ti so rispondere.
Se sei in difficoltà a guardare la frontiera con sostituzioni o considerazioni geometriche, o se i vincoli sono complicati, puoi sempre usare i moltiplicatori di Lagrange, è il metodo più generale. Nel tuo caso, poni i vincoli come uguaglianza 0 e scrivi la lagrangiana:
$ L = cos (x^2+y^2+z^2)+lambda (x^2-4(y^2+z^2))+gamma (x-2)+beta (x+2) $
dove $ lambda , gamma, beta $ sono i moltiplicarori di Lagrange,e cerchi i punti critici di L.
"gabriella127":
Spero di avere capito la tua domanda, se te ne puoi fregare di guardare la frontiera del dominio.In generale, in un primo momento te ne DEVI fregare, poi dopo no.
ma dico in quel esercizio specifico del coseno, se conosco il comportamento della funzione e che nei punti dove assume valore massimo e minimo sono quelli dove l'argomento del coseno è zero e dove vale pigreco, e sò che questi punti sono all'interno del dominio che ho, non ha senso vedere gli altri punti o sbaglio? tanto cerco solo i punti di massimo e minimo assoluti,e il coseno non ne può avere di più grandi.
poi è corretta la soluzione dell'altro esercizio? un grazie in anticipo.
penso che in quel caso te ne puoi fregare, visto che cerchi solo i valori del max e del min assoluti della funzione, se poi ti chiedono di specificare i quali punti assume questi max e min bisogna guardare anche la frontiera, perché li può assumere pure lì.
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