Analisi2 segno di un insieme opposto a quello del suo complementare
Salve, nello studio dell'insieme di definizione di funzione reale di variabili reali la prof. ha dato per convenzione che il segno interno di un insieme sia l'opposto del suo complementare.
Esempio: ho la circonferenza della forma $x^2+y^2-1$ e ne escludo la frontiera. Ora perché se calcolo la funzione in un punto interno a questo Aperto connesso (ad es. nell'origine) allora il segno che ottengo sicuramente sarà l'opposto del segno della stessa funzione calcolata in un punto del suo complementare?
Vorrei sapere se è davvero una convenzione oppure c'è un motivo preciso
Esempio: ho la circonferenza della forma $x^2+y^2-1$ e ne escludo la frontiera. Ora perché se calcolo la funzione in un punto interno a questo Aperto connesso (ad es. nell'origine) allora il segno che ottengo sicuramente sarà l'opposto del segno della stessa funzione calcolata in un punto del suo complementare?
Vorrei sapere se è davvero una convenzione oppure c'è un motivo preciso
Risposte
Nulla di ciò che scrivi ha il minimo senso: qual è la definizione del segno di un insieme? La frontiera di una circonferenza, intesa come l'interno della sua chiusura, è vuota; non c'è alcun aperto connesso su cui calcolare alcunché.
Ok allora lo ripeto.
Sto studiando l'insieme di definizione della seguente funzione :$x^3+y^2x-x$
Ora la prof ci ha fatto studiare graficamente $x^2+y^2-1$ . Per farlo abbiamo supposto che la circonferenza non avesse la frontiera . Ora visto il segno che la funzione assumeva in un certo punto interno a questa circonferenza ad esempio l'origine e considerato che il SEGNO di questa funzione nel punto era negativo si è assunto che il segno all'esterno fosse positivo(in un punto del complementare dell'insieme considerato).
Graficamente ho un cerchio tratteggiato su un sistema cartesiano con segno negativo all'interno e segno positivo all'esterno.
La domanda è : perché si assume che il segno all'esterno sia opposto a quello interno?
Sto studiando l'insieme di definizione della seguente funzione :$x^3+y^2x-x$
Ora la prof ci ha fatto studiare graficamente $x^2+y^2-1$ . Per farlo abbiamo supposto che la circonferenza non avesse la frontiera . Ora visto il segno che la funzione assumeva in un certo punto interno a questa circonferenza ad esempio l'origine e considerato che il SEGNO di questa funzione nel punto era negativo si è assunto che il segno all'esterno fosse positivo(in un punto del complementare dell'insieme considerato).
Graficamente ho un cerchio tratteggiato su un sistema cartesiano con segno negativo all'interno e segno positivo all'esterno.
La domanda è : perché si assume che il segno all'esterno sia opposto a quello interno?
Sicuramente ti riferisci a insiemi definiti da una disuguaglianza come questa:
\[
A=\{(x, y)\in \mathbb R^2 \ :\ f(x, y)<0 \}, \]
dove \(f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R\) è una funzione continua. (Ma queste cose, pepp, ti devi abituare a scriverle tu).
Il fatto che il complementare di \(A\) sia dato dalla disequazione \(f(x, y)\ge 0\) è un semplice fatto di logica. Mentre il fatto che la frontiera di \(A\) sia data dall'equazione \(f(x, y)=0\) è intuitivamente ovvio ma andrebbe dimostrato. Quindi il piano è diviso in tre regioni : \(A\), la parte interna di \(\mathbb R^2\setminus A\) e \(\partial A\) (la frontiera di \(A\)).
In pratica uno disegna la frontiera e deve poi decidere quale delle altre due regioni sia \(A\) e quale il complementare di \(A\). Grazie al teorema della permanenza del segno, è sufficiente controllare il segno di \(f\) in un punto solo di una delle due regioni per distinguerle. C'era un bel post relativamente recente di TeM al riguardo, con un punto di vista ingegneristico (prova a cercare "campionare").
\[
A=\{(x, y)\in \mathbb R^2 \ :\ f(x, y)<0 \}, \]
dove \(f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R\) è una funzione continua. (Ma queste cose, pepp, ti devi abituare a scriverle tu).
Il fatto che il complementare di \(A\) sia dato dalla disequazione \(f(x, y)\ge 0\) è un semplice fatto di logica. Mentre il fatto che la frontiera di \(A\) sia data dall'equazione \(f(x, y)=0\) è intuitivamente ovvio ma andrebbe dimostrato. Quindi il piano è diviso in tre regioni : \(A\), la parte interna di \(\mathbb R^2\setminus A\) e \(\partial A\) (la frontiera di \(A\)).
In pratica uno disegna la frontiera e deve poi decidere quale delle altre due regioni sia \(A\) e quale il complementare di \(A\). Grazie al teorema della permanenza del segno, è sufficiente controllare il segno di \(f\) in un punto solo di una delle due regioni per distinguerle. C'era un bel post relativamente recente di TeM al riguardo, con un punto di vista ingegneristico (prova a cercare "campionare").
Premessa: chiedo venia , mi adopererò per migliorare i formalismi.
Esattamente ! E' proprio quello che intendevo .
Grazie mille dissonance =))
Esattamente ! E' proprio quello che intendevo .
Grazie mille dissonance =))
Certo che se la prof. di analisi si esprime così, non oso immaginare gli studenti...
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