Analisi2 - Calcolo del volume di un solido.
Ciao ragazzi, sto preparando l'esame di Analisi2 ma sono bloccato su questo argomento, nella fattispecie nel calcolo del volume di un solido limitato da due superfici.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Calcolare il volume del solido limitato dal paraboloide rotondo $z= x^2+y^2$ e dal cilindro $(x^2+y^2-x)^2=x^2+y^2$.
Il punto dove mi blocco è riuscire a definire l'integrale che mi servirà per calcolare appunto il volume. Come punto di partenza ho effettuato il cambio di coordinate usando quelle polari e ho definito $\rho$ e $\theta$ (intuitivamente) in questa maniera:
$0<=\theta<=2pi$ e per definire $\rho$ ho risolto l'equazione: $(\rho^2-\rho*cos \theta)^2=\rho^2$ dove trovavo i primi problemi. Cioè, mi uscivano le soluzioni $0$, $cos \theta + 1$, $cos \theta -1$.
Chi mi potrebbe dare una "dritta" su come impostare l'integrale..?
EDIT:
ho cercato di sbattere ancora di più la testa e sono arrivato alla conclusione di avere due sole soluzioni e cioè $cos \theta + 1$ e $cos \theta -1$.
Imposto allora il mio integrale in questo modo:
$2\pi*\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{cos \theta -1}^{cos \theta + 1} \rho^3 d\rho$
Ora i miei dubbi (oltre a sapere se è giusto o no l'integrale di partenza) si concentrano su alcuni passaggi e cioè se è giusto passare da
$2\pi*\int_{0}^{2\pi} (cos^2\theta + 1)(cos\theta)d\theta$ $\rightarrow$ $2\pi*(\int_{0}^{2\pi} (cos^2\theta*cos\theta)d\theta + \int_{0}^{2\pi}(cos\theta)d\theta)$
e qui svolgo il primo integrale per parti e cioè mi trovo:
$2\pi*[-sin\theta*cos^2\theta-\int (cos\theta*sin^2\theta)d\theta + sin\theta]_{0}^{2\pi}$ e qui purtroppo mi blocco ancora una volta..!
Qualche suggerimento su come proseguire e su cosa correggere?
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Calcolare il volume del solido limitato dal paraboloide rotondo $z= x^2+y^2$ e dal cilindro $(x^2+y^2-x)^2=x^2+y^2$.
Il punto dove mi blocco è riuscire a definire l'integrale che mi servirà per calcolare appunto il volume. Come punto di partenza ho effettuato il cambio di coordinate usando quelle polari e ho definito $\rho$ e $\theta$ (intuitivamente) in questa maniera:
$0<=\theta<=2pi$ e per definire $\rho$ ho risolto l'equazione: $(\rho^2-\rho*cos \theta)^2=\rho^2$ dove trovavo i primi problemi. Cioè, mi uscivano le soluzioni $0$, $cos \theta + 1$, $cos \theta -1$.
Chi mi potrebbe dare una "dritta" su come impostare l'integrale..?
EDIT:
ho cercato di sbattere ancora di più la testa e sono arrivato alla conclusione di avere due sole soluzioni e cioè $cos \theta + 1$ e $cos \theta -1$.
Imposto allora il mio integrale in questo modo:
$2\pi*\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{cos \theta -1}^{cos \theta + 1} \rho^3 d\rho$
Ora i miei dubbi (oltre a sapere se è giusto o no l'integrale di partenza) si concentrano su alcuni passaggi e cioè se è giusto passare da
$2\pi*\int_{0}^{2\pi} (cos^2\theta + 1)(cos\theta)d\theta$ $\rightarrow$ $2\pi*(\int_{0}^{2\pi} (cos^2\theta*cos\theta)d\theta + \int_{0}^{2\pi}(cos\theta)d\theta)$
e qui svolgo il primo integrale per parti e cioè mi trovo:
$2\pi*[-sin\theta*cos^2\theta-\int (cos\theta*sin^2\theta)d\theta + sin\theta]_{0}^{2\pi}$ e qui purtroppo mi blocco ancora una volta..!
Qualche suggerimento su come proseguire e su cosa correggere?
Risposte
"TeM":
Ciao Luigikr. Prima di imbarcarti in parametrizzazioni, integrali e quant'altro, hai cercato di farti un'idea su come si intersecano le due superfici in oggetto? Come è noto un paraboloide è "chiuso" al suo "vertice" e poi si apre sempre
più, indefinitamente, mentre un cilindro è una superficie "aperta". Per tale motivo è necessario un ulteriore vincolo
per determinare un solido di volume finito come puoi constatare molto facilmente dalla seguente figura.
Ciao TeM, grazie innanzi tutto per la risposta! Allora si, avevo provato tramite un programmino online a disegnare le due superfici solamente che, vedendo quello che è uscito a te, posso dire che mi sono basato su disegni errati.
Avviso che quello che scriverò di seguito è frutto della mia ignoranza e quindi anche dell'intuito (basato su poca pratica in merito al disegno di superfici 3D).
Il nuovo vincolo che tu dici dovrò determinare sarebbe quello fissato da un "ipotetico" (virgolettato ehehe) piano perpendicolare all'asse $z$, giusto..?
Provo quindi ad immaginare come le due superfici si intersechino e, se non ho visto male nella mia mente le due superfici, mi verrebbe da dire che ad una certo piano perpendicolare a $z$ la parabola "copre" totalmente il cilindo.. Sarà quello il terzo vincolo che dovrò utilizzare? O sono (completamente) fuori strada?
P.s.
spero di essermi fatto capire..!
Mmmmm.. Allora, studiando un pò il grafico (di cui non smetterò mai di ringraziarti anzi, poi se posso ti vorrei chiedere alcune cose a riguardo!), mi verrebbe da dire che nel nostro caso converrebbe studiare/fare la sezione $S_z$ che ci viene data tagliando il solido con un piano parallelo ad $(x,y)$ e dopodichè fare l'integrale nell'intervallo $0<=z<=4$. Il problema sarebbe però lo studio appunto di questa sezione...!
Riempiendo un pò di ipetesi il mio quaderno, ho avanzato l'idea di trovare l'intersezione tra le due superfici considerando $z$ come una costante... Ma quando ho cominciato a vedere incognite di 4° grado mi sono fermato!
Riempiendo un pò di ipetesi il mio quaderno, ho avanzato l'idea di trovare l'intersezione tra le due superfici considerando $z$ come una costante... Ma quando ho cominciato a vedere incognite di 4° grado mi sono fermato!
Grazie TeM, sei stato molto esaustivo! Solo due cose/dubbi avrei per il momento:
quando sei passato in coordinate polari tu come determinante del Jacobiano hai "utilizzato" unicamente $\rho$ mentre io ho sempre utilizzato $\rho^2*sen\theta$.
Discorso diverso sarebbe se invece delle polari hai usato quelle cilindriche..! Ho sbagliato tutto questo tempo?
Seconda cosa, personalmente e sinceramente non ho risvolto ancora da solo l'esercizio anche perché mi sono fermato sul risultato che a te è uscito. Secondo il libro il volume del solido sarebbe uguale a $35/16 * \pi$.
Comunque, a parte queste cose, il mio vero e proprio dubbio è questo... Tu mi hai suggerito di usare come "limite" $k=4$ aiutandomi anche tramite il grafico. Il dubbio mio in questo caso è: come faccio a stabilire questo vincolo superiore da solo, senza l'aiuto del pc? Come prima ipotesi ho pensato ad intersecare le due superfici iniziali ma non so quanto possa essere un'ipotesi plausibile dato che i punti a contatto sono più di uno..!
quando sei passato in coordinate polari tu come determinante del Jacobiano hai "utilizzato" unicamente $\rho$ mentre io ho sempre utilizzato $\rho^2*sen\theta$.
Discorso diverso sarebbe se invece delle polari hai usato quelle cilindriche..! Ho sbagliato tutto questo tempo?
Seconda cosa, personalmente e sinceramente non ho risvolto ancora da solo l'esercizio anche perché mi sono fermato sul risultato che a te è uscito. Secondo il libro il volume del solido sarebbe uguale a $35/16 * \pi$.
Comunque, a parte queste cose, il mio vero e proprio dubbio è questo... Tu mi hai suggerito di usare come "limite" $k=4$ aiutandomi anche tramite il grafico. Il dubbio mio in questo caso è: come faccio a stabilire questo vincolo superiore da solo, senza l'aiuto del pc? Come prima ipotesi ho pensato ad intersecare le due superfici iniziali ma non so quanto possa essere un'ipotesi plausibile dato che i punti a contatto sono più di uno..!
Ti ringrazio davvero tanto TeM! Ora vedrò di risolverlo da solo di nuovo ripartendo dall'inizio. A quanto ho capito devo allenarmi bene sopratutto "nell'immaginare" il dominio su cui valutare l'integrale...
Grazie ancora!!
Grazie ancora!!
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