Analisi1...gradiente, rotore, divergenza

[margotz]

Buongiorno a tutti!!!!!!!! avrei bisogno un piccolo aiuto...sapreste spiegarmi in maniera semplice e intuitiva (oppure dirmi un sito che lo faccia per voi! [:)] !) i concetti di gradiente, rotore e divergenza?
in più...per quel che riguarda il gradiente come si svolgono degli esercizi tipo (vi sarei grata se mi forniste dei passaggi spiegati!):
1.
sapendo che una funzione f:R^n-->R è differenziabile e che il gradiente è dato dal vettore di volta in volta, calcolare la corrispondente derivata di f nella direzione del versore assegnato
grad(f)(1,1)=(2,4) r=2^(-1/2)(1,1)
grad(f)(3,5)=(4,0) r=(0,1)
2.
sia f:R^2-->R differenziabile. si definisce la funzione f* mediante la formula
f*(ro,theta)=f(ro cos theta, ro sin theta), ro>=0, theta appartenete a R
calcolare le derivate parziali d(ro)f* e d(theta)f* in ogni punto (ro,theta)
scrivere in dermini delle derivate parziali la decomposizione del gradiente di f rispetto ai due versori r(ro)=(cos theta,sin theta) e r(theta)=(-sin theta,cos theta) nel punto x=(ro cos theta, ro sin theta) diverso dall'origine

nel secondo esercizio ro e theta ovviamente stanno per le lettere greche corrispondenti e quando scrivo, per esempio, r(ro) vuol dire che r ha come pedice ro


grazie mille per la pazienza!!!!!!!!!!!
a presto e in bocca al lupo a tutti quelli che stanno dando i vari esami universitari!
mARGOTz
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vedere un mondo in un
grano di sabbia
e un universo in un
fiore di campo,
possedere l'infinito sul
palmo della mano
e l'eternità in un'ora.

-William Blake-

[Luc@s]

gradiente: l'unica direzione verso la quale le derivate parziali sono massime ortogonale alle superfici di livello della funzione. Lo si usa, ad esempio, per la ricerca di minimi/massimi di una funzione(quello che in funzioni reali di variabile reale hai con $f'(x)=0$).
A livello di esercizi, è utile sapere $|\nabla f | = (\sum_{i=0}^{n} (D_{x_i}f)^2)^{1/2}$

rotore: il rotore è un operatore che mostra la tendenza di un campo vettoriale a ruotare attorno a un punto. A livello di esercizio

divergenza: a livello di cos'è per gli esercizi? $\sum_{i=0}^{n} a_{i,i}$ dove $ai,j$ è la matrice jacobiana. a livello di cos'è: la divergenza è un operatore che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto del campo.