Analisi reale: passaggio al limite sotto il segno di integrale
Ciao a tutti. Ho il seguente esercizio
calcolare \(\displaystyle lim_{n-> +\infty} \int_1^n x^{-2}(senx)^n dx \)
Allora quello che so io è che se abbiamo \(\displaystyle lim_{n-> +\infty} \int_{E_n} f_n(x) dx \) e se \(\displaystyle E_n \) sono a due a due disgiunti, allora detto \(\displaystyle E= \bigcup_n E_n \) e detto \(\displaystyle lim_{n-> +\infty} f_n(x)=f(x) \)si ha che \(\displaystyle lim_{n-> +\infty} \int_{E_n} f_n(x)= \int_E f(x) \)
Tuttavia questo ragionamento non può essere applicato, perchè nel nostro caso gli \(\displaystyle E_n \) non sono a due a due disgiunti. Quindi come procedo?
calcolare \(\displaystyle lim_{n-> +\infty} \int_1^n x^{-2}(senx)^n dx \)
Allora quello che so io è che se abbiamo \(\displaystyle lim_{n-> +\infty} \int_{E_n} f_n(x) dx \) e se \(\displaystyle E_n \) sono a due a due disgiunti, allora detto \(\displaystyle E= \bigcup_n E_n \) e detto \(\displaystyle lim_{n-> +\infty} f_n(x)=f(x) \)si ha che \(\displaystyle lim_{n-> +\infty} \int_{E_n} f_n(x)= \int_E f(x) \)
Tuttavia questo ragionamento non può essere applicato, perchè nel nostro caso gli \(\displaystyle E_n \) non sono a due a due disgiunti. Quindi come procedo?
Risposte
Penso che questo torni molto utile qui:
Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale (per convergenza uniforme):
$(1)$ $f_n$ è $\text{Riemann integrabile}$ in $[a,b]$
$(2)$ $f_n$ converge $\text{uniformemente}$ a $f$ in $[a,b]$
$=>$ $\lim_{n \to \infty}int_a^bf_n$ $=$ $int_a^b\lim_{n \to \infty}f_n$
Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale (per convergenza uniforme):
$(1)$ $f_n$ è $\text{Riemann integrabile}$ in $[a,b]$
$(2)$ $f_n$ converge $\text{uniformemente}$ a $f$ in $[a,b]$
$=>$ $\lim_{n \to \infty}int_a^bf_n$ $=$ $int_a^b\lim_{n \to \infty}f_n$
@Sarasue: ma quello che scrivi non va bene solo se l'intervallo di integrazione è limitato? Qui si sta integrando su $[1,n)$.
Quindi $f_n$ $=$ $int_1^n x^-2(senx)^ndx$
l'esercizio chiede $lim_{n \to \infty}f_n = f$ cioè chiede di studiare la convergenza $\text{puntuale}$ di $f_n$
l'esercizio chiede $lim_{n \to \infty}f_n = f$ cioè chiede di studiare la convergenza $\text{puntuale}$ di $f_n$
"SaraSue":
Quindi $f_n$ $=$ $int_1^n x^-2(senx)^ndx$
l'esercizio chiede $lim_{n \to \infty}f_n = f$ cioè chiede di studiare la convergenza $\text{puntuale}$ di $f_n$
Se \(\displaystyle f_n \) è come hai detto tu, a cosa mi serve sapere ciò che prima hai scritto? Mi sa che non ci siamo capiti.
Io devo calcolare \(\displaystyle lim_{n->+\infty} \int_0^n g_n(x) \) che è una successione di funzioni, non una successione di funzioni intregrali
Non è così?
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