Analisi qualitativa di un Problema di Cauchy
Ciao ragazzi, io ed un mio amico stiamo avendo incredibili difficoltà a capire cosa aspettarci dalle soluzioni di:
$y'=y(1+y)(1+sin(ty))$
con dato iniziale $y(0)=a>0$.
In particolare, non sappiamo dare una stima dell'estremo destro dell'intervallo massimale d'esistenza. Verso destra "esistono fino all'infinito" o "scoppiano" prima?
Grazie mille per il vostro tempo
Luca
$y'=y(1+y)(1+sin(ty))$
con dato iniziale $y(0)=a>0$.
In particolare, non sappiamo dare una stima dell'estremo destro dell'intervallo massimale d'esistenza. Verso destra "esistono fino all'infinito" o "scoppiano" prima?
Grazie mille per il vostro tempo
Luca
Risposte
La vostra soluzione è strettamente crescente a destra di $0$, dunque è positiva.
D'altra parte, avete:
\[
\begin{split}
y^\prime (t) &= y(t)\cdot \underbrace{(1+y(t))}_{\geq y(t)}\cdot \underbrace{\left( 1+\sin \big( ty(t)\big) \right)}_{\geq 1}\\
&\geq y^2(t)
\end{split}
\]
e quindi...
D'altra parte, avete:
\[
\begin{split}
y^\prime (t) &= y(t)\cdot \underbrace{(1+y(t))}_{\geq y(t)}\cdot \underbrace{\left( 1+\sin \big( ty(t)\big) \right)}_{\geq 1}\\
&\geq y^2(t)
\end{split}
\]
e quindi...
E da quando in qua $1+sin(yt)>1$?
Sono un pò perplesso
Sono un pò perplesso
Non volevo assolutamente suonare superbo/presuntuoso o altro. Scusami se mi sono espresso male.
Comunque credo che il problema sia un pò più difficile di come l'hai immaginato a primo impatto. Ho già provato tantissime diseguaglianze del genere.
Comunque credo che il problema sia un pò più difficile di come l'hai immaginato a primo impatto. Ho già provato tantissime diseguaglianze del genere.
Visto che per \(t>0\) "piccolo" avete per continuità \(y(t)\approx a>0\), hai \(ty(t)>0\) e "piccolo", sicché \(\sin ty(t)>0\) "piccolo".
EDIT: Scusate, avevo scritto una cavolata...
EDIT: Scusate, avevo scritto una cavolata...
Eh beh, ma poi non finisce lì, perchè è vero che la maggiorazione funziona finchè yt è piccolo, ma a noi interessa cosa succede a lungo andare, mica all'inizio? 
Già... Ma potreste provare a vedere cosa succede cominciando da lì.
Insomma, se riuscite a rendere meno qualitativa l'approssimazione potete provare a tirarci fuori qualcosa.
Sembra abbastanza chiaro che il termine che rompe le bolas è quello oscillante.
Potete comunque provare ad eliminarlo usando una disuguaglianza del tipo:
\[
\sin u \geq m u
\]
valida per \(u\geq 0\) con un appropriato \(m<0\) (si trova che il valore migliore è \(m\approx -0.22\)).
Sono solo idee... Provate a svilupparle un po'.
Insomma, se riuscite a rendere meno qualitativa l'approssimazione potete provare a tirarci fuori qualcosa.
Sembra abbastanza chiaro che il termine che rompe le bolas è quello oscillante.
Potete comunque provare ad eliminarlo usando una disuguaglianza del tipo:
\[
\sin u \geq m u
\]
valida per \(u\geq 0\) con un appropriato \(m<0\) (si trova che il valore migliore è \(m\approx -0.22\)).
Sono solo idee... Provate a svilupparle un po'.
Già provato...
Se ti scrivessi una lista di tutte le cose che abbiamo già provato sarebbe immensa.
Abbiamo bisogno di una nuova idea. Il problema non è facile, è un problema assegnato come UNICO esercizio in un precedente compito di un esame di analisi del terzo anno del corso di Laurea in matematica, e noi che lo proponiamo non siamo esattamente gli ultimi arrivati. Abbiamo provato qualsiasi cosa anche lontanamente decente, ci serve qualche metodo più forte. Speravamo di trovarlo qui. Grazie lo stesso
Se ti scrivessi una lista di tutte le cose che abbiamo già provato sarebbe immensa.
Abbiamo bisogno di una nuova idea. Il problema non è facile, è un problema assegnato come UNICO esercizio in un precedente compito di un esame di analisi del terzo anno del corso di Laurea in matematica, e noi che lo proponiamo non siamo esattamente gli ultimi arrivati. Abbiamo provato qualsiasi cosa anche lontanamente decente, ci serve qualche metodo più forte. Speravamo di trovarlo qui. Grazie lo stesso
Beh, ti farà piacere sapere che questo forum è popolato da tanti che non sono gli ultimi arrivati... Ed anche che pure i primi arrivati, se non sanno cosa vuoi abbiate già provato, partiranno dalle considerazioni più elementari per poi andare oltre.
La questione è questa: ogni qual volta togliamo il seno mettendoci qualcosa di più grande, la funzione che otteniamo scoppia, ma la nostra in oggetto ne è minore e quindi non sappiamo che faccia. Ogni qual volta togliamo il seno mettendoci qualcosa di più piccolo (e abbiamo provato di tutto, compreso altre orribili funzioni oscillanti tipo sawtooth wave o squarewave) otteniamo qualcosa che NON scoppia ma la nostra soluzione ne è maggiore e quindi non sappiamo che faccia. Abbiamo già fatto tutte le osservazioni del caso su crescenza, punti critici di vario genere, ovviamente. Conosciamo tutto delle soluzioni, manca veramente l'unico piccolissimo dettaglio di sapere se esistano o no fino a $t=\infty$
È piuttosto lungo e inutile scrivere tutto ciò che abbiamo già fatto qui, perchè non ha portato da nessuna parte, ma se anche solo una persona (per esempio tu) crede che possa servire lo scrivo. Il fatto è che anche solo mettendola su Wolframalpha si capiscono un paio di cose problematiche della funzione soluzione, che ti descrivo usando termini informali:
Cresce sempre, ma alterna sempre tratti di crescenza a flessi ascendenti a tangente orizzontale [y' è positiva ma torna ad essere nulla ogni qual volta xy è $3/2 pi +2kpi$]. I tratti in cui è "quasi-orizzontale" diventano sempre più corti e i tratti in cui cresce diventano sempre più "ripidi", ma non abbastanza da permettere di concludere immediatamente che la funzione "scoppi" nè che non lo faccia. Tra l'altro questa "alternanza" aumenta sempre più in frequenza. Se guardi un grafico lo vedi "zig-zagare" sempre più rapidamente fra tratti di crescita e tratti di costanza finchè non si riconosce quasi più questa caratteristica e sembra stia salendo liscio.
In più, in un confronto concettuale fra l'analisi grafica e quella puramente analitica, credo che la difficoltà comune ai due sia proprio il fatto che tutto è moltiplicato per $1+sin(xy)$, che è un fattore che non si può minorare/maggiorare tanto intelligentemente in questa situazione perchè tocca lo 0 in continuazione, ogni qual volta, crescendo, la funzione y tocca i punti in cui $xy$ è tale che $sin(xy)=-1$
Cresce sempre, ma alterna sempre tratti di crescenza a flessi ascendenti a tangente orizzontale [y' è positiva ma torna ad essere nulla ogni qual volta xy è $3/2 pi +2kpi$]. I tratti in cui è "quasi-orizzontale" diventano sempre più corti e i tratti in cui cresce diventano sempre più "ripidi", ma non abbastanza da permettere di concludere immediatamente che la funzione "scoppi" nè che non lo faccia. Tra l'altro questa "alternanza" aumenta sempre più in frequenza. Se guardi un grafico lo vedi "zig-zagare" sempre più rapidamente fra tratti di crescita e tratti di costanza finchè non si riconosce quasi più questa caratteristica e sembra stia salendo liscio.
In più, in un confronto concettuale fra l'analisi grafica e quella puramente analitica, credo che la difficoltà comune ai due sia proprio il fatto che tutto è moltiplicato per $1+sin(xy)$, che è un fattore che non si può minorare/maggiorare tanto intelligentemente in questa situazione perchè tocca lo 0 in continuazione, ogni qual volta, crescendo, la funzione y tocca i punti in cui $xy$ è tale che $sin(xy)=-1$
Considerazioni che avevo fatto pure io, nel frattempo...
Intanto, ho provato qualche cambiamento di variabile, ma non ho trovato nulla che aiuti.
Avete provato a stimare in qualche modo la lunghezza degli intervalli di convessità e di concavità che si alternano?
Intanto, ho provato qualche cambiamento di variabile, ma non ho trovato nulla che aiuti.
Avete provato a stimare in qualche modo la lunghezza degli intervalli di convessità e di concavità che si alternano?
Propongo la seguente idea (senza sviluppare i dettagli).
Sia
\[
A = \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} [2k\pi, (2k+1)\pi]
\]
e sia \(\chi_A\) la funzione caratteristica di \(A\).
Dal momento che \(y>0\) abbiamo che la soluzione del PdC soddisfa
\[
y' \geq y(1+y) \chi_A (t y),
\]
quindi si ha \(y\geq z\) dove \(z\) è soluzione del PdC
\[
z' = z(1+z) \chi_A (t z).
\]
Indicata con \(S_k\) l'iperbole \(y = k\pi / t\), avremo che \(z\) rimane costante quando attraversa la regione compresa fra le iperboli \(S_{2k-1}, S_{2k}\), che viene attraversata in un tempo \(\pi / \bar{z}\) con \(\bar{z}\) valore costante di \(z\) nella striscia, mentre è soluzione dell'equazione \(z' = z(1+z)\), esplicitamente computabile, quando sta fra le iperboli \(S_{2k}, S_{2k+1}\).
Questo penso sia sufficiente per dimostrare che \(z\) (e dunque anche \(y\)) esplodono in tempo finito.
Si può infatti vedere la soluzione \(z\) come costruita a partire da \(w\), soluzione di \(w' = w(1+w)\), \(w(0) = a\) (che esplode in tempo \(T_a = \log(1+1/a)\)), inserendo dei tratti costanti nelle regioni dette sopra.
Questi tratti costanti hanno lunghezza monotona decrescente (essendo \(w\) monotona crescente).
Detto questo, mi sempra piuttosto probabile che ci possa essere qualche metodo più rapido.
Sia
\[
A = \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} [2k\pi, (2k+1)\pi]
\]
e sia \(\chi_A\) la funzione caratteristica di \(A\).
Dal momento che \(y>0\) abbiamo che la soluzione del PdC soddisfa
\[
y' \geq y(1+y) \chi_A (t y),
\]
quindi si ha \(y\geq z\) dove \(z\) è soluzione del PdC
\[
z' = z(1+z) \chi_A (t z).
\]
Indicata con \(S_k\) l'iperbole \(y = k\pi / t\), avremo che \(z\) rimane costante quando attraversa la regione compresa fra le iperboli \(S_{2k-1}, S_{2k}\), che viene attraversata in un tempo \(\pi / \bar{z}\) con \(\bar{z}\) valore costante di \(z\) nella striscia, mentre è soluzione dell'equazione \(z' = z(1+z)\), esplicitamente computabile, quando sta fra le iperboli \(S_{2k}, S_{2k+1}\).
Questo penso sia sufficiente per dimostrare che \(z\) (e dunque anche \(y\)) esplodono in tempo finito.
Si può infatti vedere la soluzione \(z\) come costruita a partire da \(w\), soluzione di \(w' = w(1+w)\), \(w(0) = a\) (che esplode in tempo \(T_a = \log(1+1/a)\)), inserendo dei tratti costanti nelle regioni dette sopra.
Questi tratti costanti hanno lunghezza monotona decrescente (essendo \(w\) monotona crescente).
Detto questo, mi sempra piuttosto probabile che ci possa essere qualche metodo più rapido.
Il problema è che, anche immaginando la funzione costruita nel modo da te detto, osservare solo che è fatta in quel modo non significa necessariamente che esplode. Potrebbe essere che i tratti di costanza siano lunghi come degli $a_n$ la cui serie non converge, e quindi la soluzione non esploderebbe. Ora, mi dirai tu: infatti! C'è da studiarsi la quota e la lunghezza di questi tratti di costanza! E come caspitacci si fa, dico io? Non ne ho la più pallida idea. La lunghezza di sti tratti dipende da quanta quota è riuscita a guadagnare z nei tratti in cui cresce. E io come faccio a saperlo?
"Luca Boletti":
Il problema è che, anche immaginando la funzione costruita nel modo da te detto, osservare solo che è fatta in quel modo non significa necessariamente che esplode. Potrebbe essere che i tratti di costanza siano lunghi come degli $a_n$ la cui serie non converge, e quindi la soluzione non esploderebbe. Ora, mi dirai tu: infatti! C'è da studiarsi la quota e la lunghezza di questi tratti di costanza! E come caspitacci si fa, dico io? Non ne ho la più pallida idea. La lunghezza di sti tratti dipende da quanta quota è riuscita a guadagnare z nei tratti in cui cresce. E io come faccio a saperlo?
In effetti, facendo un paio di conti, mi sembra proprio che la serie dei tempi sugli intervalli costanti vada come
\[
\sum_j \frac{T_a}{j}
\]
e sia quindi divergente.
Probabilmente l'approssimazione iniziale del campo è stata troppo drastica.
È quindi? Nuove idee?
Nessuno ha qualche nuova idea? 
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