Analisi qualitativa di un' equazione differenziale
Dovrei disegnare l'andamento qualitativo delle soluzioni di $y'=y^2-x^2$. Ho fatto altri esercizi di questo tipo, ma in questo caso non so come procedere. Ad esempio per studiare la monotonia facevo $y^2-x^2>0$, ma in questo caso ottengo $y<-x$ e $y>x$ che non mi dà nessun indizio su come disegnare l'andamento qualitativo delle soluzioni. Come dovrei fare?
Risposte
Andrei per step.
Incomincia a vedere se fissata una condizione iniziale, tipo
$y(0)=y_0 \quad \quad y_0\in R$
esiste soluzione locale e se è unica.
Controlla poi se si può dire che ammette soluzione globale su tutto $R$.
Verificate queste cosa si può iniziare a fare uno studio qualitativo dell' equazione differenziale.
Incomincia a vedere se fissata una condizione iniziale, tipo
$y(0)=y_0 \quad \quad y_0\in R$
esiste soluzione locale e se è unica.
Controlla poi se si può dire che ammette soluzione globale su tutto $R$.
Verificate queste cosa si può iniziare a fare uno studio qualitativo dell' equazione differenziale.
In teoria essendo $y’-y^2=-x^2$ deve essere $y’-y^2leq0$ quindi deve essere $y’leqy^2$ o anche $y’+x^2geq0$
Visto che la derivata prima rispetto ad y è continua vale il teorema di esistenza ed unicità locale.
Per l'unicità globale so che dovrei trovare delle funzioni continue t.c. $\abs (y^2-x^2) <= p(x) \abs (y
) + m(x)$.
La cosa più simile che sono riuscito ad ottenere è $|y^2-x^2|<= |y-x| |y| + |y-x| |x|$.
Per l'unicità globale so che dovrei trovare delle funzioni continue t.c. $\abs (y^2-x^2) <= p(x) \abs (y
) + m(x)$.
La cosa più simile che sono riuscito ad ottenere è $|y^2-x^2|<= |y-x| |y| + |y-x| |x|$.
Qualche osservazione:
Credo che hiedere tutte le soluzioni non equivale in generale a chiedere le soluzioni con $y(0)=y_0$ al variare di $y_0 in RR$, però il problema di "tutte" le soluzioni è estenuante, considererò la condizione $y(0)=y_0$
Puoi limitarti al semipiano positivo dato che se $y(x)$ è soluzione, lo dovrebbe essere anche $-y(-x)$. (Magari non con la stessa condizione iniziale, ma fa niente dato che ti servono tutte le soluzioni al variare di $y_0$)
Quando vedi dei quadrati puoi iniziare a dubitare dell'esistenza globale (poi ovviamente dipende).
In particolare puoi vedere che per $y_0$ abbastanza alto, per ogni $x>=0$, $y'(x)=y^2-x^2>=y^2/2$ (prova a vedere in quale regione vale questa disuguaglianza, e assicurati che vale per $y_0$ grande)
La soluzione di $y'(x)=y^2/2$ è facile da calcolare, ed ha un blow up. Quindi anche la soluzione del problema iniziale ha blow up per $y_0$ e inoltre puoi stimare il blow up per eccesso. Banalmente si ha dunque blow up per ogni condizione iniziale $y(0)=\bar(y)>=y_0$
Poi vabbè semi-ovvio: per i valori di $y_0$ per cui si ha esistenza globale, sicuramente $lim_(x->oo) y(x)$ non è reale.
In generale l'idea è di vedere come si potrebbe comportare la soluzione vedendo le regioni di monotonia, e poi verificare se tali comportamenti sono realmente assunti tramite maggiorazioni o altre tecniche.
Credo che hiedere tutte le soluzioni non equivale in generale a chiedere le soluzioni con $y(0)=y_0$ al variare di $y_0 in RR$, però il problema di "tutte" le soluzioni è estenuante, considererò la condizione $y(0)=y_0$
Puoi limitarti al semipiano positivo dato che se $y(x)$ è soluzione, lo dovrebbe essere anche $-y(-x)$. (Magari non con la stessa condizione iniziale, ma fa niente dato che ti servono tutte le soluzioni al variare di $y_0$)
Quando vedi dei quadrati puoi iniziare a dubitare dell'esistenza globale (poi ovviamente dipende).
In particolare puoi vedere che per $y_0$ abbastanza alto, per ogni $x>=0$, $y'(x)=y^2-x^2>=y^2/2$ (prova a vedere in quale regione vale questa disuguaglianza, e assicurati che vale per $y_0$ grande)
La soluzione di $y'(x)=y^2/2$ è facile da calcolare, ed ha un blow up. Quindi anche la soluzione del problema iniziale ha blow up per $y_0$ e inoltre puoi stimare il blow up per eccesso. Banalmente si ha dunque blow up per ogni condizione iniziale $y(0)=\bar(y)>=y_0$
Poi vabbè semi-ovvio: per i valori di $y_0$ per cui si ha esistenza globale, sicuramente $lim_(x->oo) y(x)$ non è reale.
In generale l'idea è di vedere come si potrebbe comportare la soluzione vedendo le regioni di monotonia, e poi verificare se tali comportamenti sono realmente assunti tramite maggiorazioni o altre tecniche.
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