Analisi qualitativa di EDO

[Ulyx3s]

Sto studiando analisi su una raccolta di esercizi svolti di Analisi dei prof. Marina Ghisi e Sergio Spagnolo (se magari c è qualche unipi sa di cosa sto parlando)...

nella risoluzione di analisi qualitativa di Problemi di Cauchy fa dei passaggi che faccio fatica talvolta a starci dietro.
Propongo questo ragionamento su cui vorrei una delucidazione:

Sia il PDC:
$ { ( y'=f(x,y)=(arctan(x+y))/(x^2+y) ),(y(0)=a ):} $
si dimostri che per a>0 la soluzione è definita su $[0,infty)$

Premesso che intuitivamente capisco benissimo perchè è vera l' affermazione, leggo come risolve formalmente l' es.:
Se x>0 la soluzione è monotona e crescente, quindi rimane dove y>a in cui f(x,y) è regolare e sublineare.

Ora ciò che vorrei capire è esattamente come si deduce formalmente che la soluzione esiste nell intervallo dalla regolarità e sublinearità della f(x,y).

La cosa che infatti mi viene facile è dimostrare quando una soluzione non è globale, perchè ne individuo la causa (rette da "non poter incontrare", asintoti verticali ecc..) ma quando devo dimostrare la globalità dimostravo che non accadeva niente di ciò, ma formalmente non era carino..
quindi vorrei capire come si conclude l esercizio a partire da quel "f(x,y) è regolare e sublineare"..
spero di essermi spiegato bene..

[Rigel1]

Si tratta di un risultato abbastanza standard.
Se $f$ è regolare (vale a dire, soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale) e soddisfa una maggiorazione del tipo
$|f(x,y)| \le A + B |y|$ per ogni $(x,y)$,
con $A$ e $B$ costanti positive, allora la soluzione è definita globalmente.

[gugo82]

Tra l'altro è tutto spiegato nelle dispense di Sistemi Dinamici segnalate qui.