Analisi punti stazionari di una funzione in più variabili
Ciao a tutti! Volevo un vostro aiuto per quanto riguarda questo esercizio:
"Consideriamo la funzione $f(x,y)=12x^2+arctan(xy^2)+sinh(y^6)$
a)Stabilire se ammette minimo su tutto $RR^2$
b)Stabilire se l'origine è un punto di massimo/minimo locale( o nessuno dei due)
c)Dimostrare che ammette almeno tre punti stazionari
Per il primo punto "scommettevo" un po' di più sul no e ho cercato di trovare qualche curva/restrizione, però sono indeciso sul ragionamento; io ho provato con $f(1/t,sqrt(t))$. Sostituendo e facendo tendere t a meno infinito dovrei ottenere proprio meno infinito: inf=$-infty$, da cui la non esistenza del minimo su tutto $RR^2$ (??)
Per il secondo, invece, sviluppando con Taylor in un intorno dell'origine posso "lavorare" con $12x^2+xy^2+y^6$
Il ragionamento con l'Hessiana non mi porta a una conclusione dato che risulta semidefinita positiva :$((24, 0), (0, 0)) >=0$
(potrei escludere solo il massimo se non sbaglio)
Anche qui quindi ho cercato di trovare alcune curve, ad esempio $f(-t,2sqrt(3)sqrt(t))$. Sostituendo i primi due termini dovrebbero annullarsi e resta una cosa del genere $ct^3+ o(t^3)$.(questo dovrebbe escludermi il minimo)
Sono ragionamenti corretti o ho preso un abbaglio??
"Consideriamo la funzione $f(x,y)=12x^2+arctan(xy^2)+sinh(y^6)$
a)Stabilire se ammette minimo su tutto $RR^2$
b)Stabilire se l'origine è un punto di massimo/minimo locale( o nessuno dei due)
c)Dimostrare che ammette almeno tre punti stazionari
Per il primo punto "scommettevo" un po' di più sul no e ho cercato di trovare qualche curva/restrizione, però sono indeciso sul ragionamento; io ho provato con $f(1/t,sqrt(t))$. Sostituendo e facendo tendere t a meno infinito dovrei ottenere proprio meno infinito: inf=$-infty$, da cui la non esistenza del minimo su tutto $RR^2$ (??)
Per il secondo, invece, sviluppando con Taylor in un intorno dell'origine posso "lavorare" con $12x^2+xy^2+y^6$
Il ragionamento con l'Hessiana non mi porta a una conclusione dato che risulta semidefinita positiva :$((24, 0), (0, 0)) >=0$
(potrei escludere solo il massimo se non sbaglio)
Anche qui quindi ho cercato di trovare alcune curve, ad esempio $f(-t,2sqrt(3)sqrt(t))$. Sostituendo i primi due termini dovrebbero annullarsi e resta una cosa del genere $ct^3+ o(t^3)$.(questo dovrebbe escludermi il minimo)
Sono ragionamenti corretti o ho preso un abbaglio??
Risposte
Ciao! Nel primo punto hai fatto un paio di cavolate 
Innanzitutto osserva che $f(x,y)> -\pi/2$ per ogni $x,y$, in quanto
\[12x^2\ge 0\quad \arctan(xy^2)>-\pi/2\quad\sinh y^6\ge 0\]
Quindi l'inf non può essere $-\infty$. Inoltre, quando hai considerato la restrizione di $f$ alla curva $(1/t,\sqrt{t})$, hai preso $t\to -\infty$, ma per $t<0$ quell'espressione non ha senso.
Il minimo esiste: lo vedi, ad esempio, usando una variante del teorema di Weiestrass (se $f:RR^2\to RR$ è continua e $\lim_{| (x , y) |\to +\infty}f(x)=+\infty$, allora $f$ ammette minimo assoluto su $RR^2$).
Innanzitutto osserva che $f(x,y)> -\pi/2$ per ogni $x,y$, in quanto\[12x^2\ge 0\quad \arctan(xy^2)>-\pi/2\quad\sinh y^6\ge 0\]
Quindi l'inf non può essere $-\infty$. Inoltre, quando hai considerato la restrizione di $f$ alla curva $(1/t,\sqrt{t})$, hai preso $t\to -\infty$, ma per $t<0$ quell'espressione non ha senso.
Il minimo esiste: lo vedi, ad esempio, usando una variante del teorema di Weiestrass (se $f:RR^2\to RR$ è continua e $\lim_{| (x , y) |\to +\infty}f(x)=+\infty$, allora $f$ ammette minimo assoluto su $RR^2$).
Oh che stupido...quindi sì mi basta calcolare il limite. Ci avevo pensato, ma poi nel calcolare il limite non saprei come fare. Avevo pensato a maggiorazioni e coordinate polari ma arrivo a questo:
$f(x,y)=12rho^2*cos^2theta+arctan(rho^3*costheta*sin^2theta)+sinh(rho^6*sin^6theta)$ e potrei maggiorare l'arcotangente con $-pi/2$, ma poi?
$f(x,y)=12rho^2*cos^2theta+arctan(rho^3*costheta*sin^2theta)+sinh(rho^6*sin^6theta)$ e potrei maggiorare l'arcotangente con $-pi/2$, ma poi?
Io non avrei usato le coordinate polari. L'idea sarebbe stata questa (lo dico rozzamente, ma il tutto sarebbe da formalizzare usando la definizione di limite): dato che
\[\|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}\le |x|+|y|,\]
quando $"||"(x,y)"||" \to +\infty$ si ha anche $|x|+|y|\to \infty$ e quindi $|x|\to +\infty$ oppure $|y|\to +\infty$. Siccome nell'espressione di $f$ compaiono gli addendi $12x^2$ e $\sinh y^6$, che divergono entrambi all'infinito, allora...
Anche come hai fatto tu però va bene eh (e forse fai pure prima): dopo aver maggiorato l'arcotangente, mandando $\rho \to +\infty$ hai che il limite è $+\infty$ uniformemente rispetto a $\theta$.
\[\|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}\le |x|+|y|,\]
quando $"||"(x,y)"||" \to +\infty$ si ha anche $|x|+|y|\to \infty$ e quindi $|x|\to +\infty$ oppure $|y|\to +\infty$. Siccome nell'espressione di $f$ compaiono gli addendi $12x^2$ e $\sinh y^6$, che divergono entrambi all'infinito, allora...
Anche come hai fatto tu però va bene eh (e forse fai pure prima): dopo aver maggiorato l'arcotangente, mandando $\rho \to +\infty$ hai che il limite è $+\infty$ uniformemente rispetto a $\theta$.
Non sono pienamente convinto che obbligatoriamente $abs(x)$ o $abs(y)$ tendono a più infinito.
Nel caso allora è fatta.
Nel caso allora è fatta.
Ma dai... 
Se $(x,y)$ è a distanza molto grande dall’origine, almeno una delle due coordinate deve essere molto lontana da zero, non credi? Prova a fare un disegno.
Se nemmeno così riesci a convincertene, facciamo i formali e lo chiariamo subito (farlo già adesso comporterebbe per me scrivere formule dal telefono, una scocciatura non da poco
)
Se $(x,y)$ è a distanza molto grande dall’origine, almeno una delle due coordinate deve essere molto lontana da zero, non credi? Prova a fare un disegno.
Se nemmeno così riesci a convincertene, facciamo i formali e lo chiariamo subito (farlo già adesso comporterebbe per me scrivere formule dal telefono, una scocciatura non da poco
)
Il punto è che $|x|+|y| -> oo$ sicuramente, cioè la loro somma tende a infinito, ma se per esempio prendi una chiocciola che gira su se stessa e tende a infinito allora non é vero che definitivamente una delle due coordinate ha modulo infinito.
Con chiocciola intendo una parametrizzazione del tipo $(tcost,tsint)$
Con chiocciola intendo una parametrizzazione del tipo $(tcost,tsint)$
Oh...mi sa che la cavolata adesso l’ho detta io, e pure bella grossa. Grazie @Ernesto01.
Si potrebbe anche aggiustare quel ragionamento, per esempio:
$12x^2+sinh(y^6)>=max{12x^2,sinh(y^6)}$
Partendo da questa disequazione,devi dimostrare che quella quantitá a destra tende a $oo$ quando la norma tende a $oo$. Con la definizione di limite, o anche informalmente dicendo che se la norma tende a $oo$ allora le coordinate sono illimitate, e quindi una di quelle due funzioni é arbitrariamente grande.
Se la norma é $k$,allora $|x|>=k/sqrt(2)$ oppure $|y|>=k/sqrt(2)$.
Quindi sulla circonferenza di raggio $k$ si ha $max{12x^2,sinh y^6}>=min{12(k/sqrt(2))^2,(sinh(k/sqrt(2))^6)}$
Entrambe le funzioni nel min vanno a $oo$ quando $k->oo$,da cui anche la funzione iniziale tende a $oo$ per il teorema dei carabinieri.
$12x^2+sinh(y^6)>=max{12x^2,sinh(y^6)}$
Partendo da questa disequazione,devi dimostrare che quella quantitá a destra tende a $oo$ quando la norma tende a $oo$. Con la definizione di limite, o anche informalmente dicendo che se la norma tende a $oo$ allora le coordinate sono illimitate, e quindi una di quelle due funzioni é arbitrariamente grande.
Se la norma é $k$,allora $|x|>=k/sqrt(2)$ oppure $|y|>=k/sqrt(2)$.
Quindi sulla circonferenza di raggio $k$ si ha $max{12x^2,sinh y^6}>=min{12(k/sqrt(2))^2,(sinh(k/sqrt(2))^6)}$
Entrambe le funzioni nel min vanno a $oo$ quando $k->oo$,da cui anche la funzione iniziale tende a $oo$ per il teorema dei carabinieri.
Esatto...non ero convinto perchè pensavo anche io a qualcosa tipo spirali ecc...
Per il limite ok...ma per il ragionamento con le polari non c' è proprio speranza?
Per il limite ok...ma per il ragionamento con le polari non c' è proprio speranza?
Stimi l'arcotangente come avevi fatto te.
Poi usi $sinhx>=x$ per $x>=0$, e per $rho$ abbastanza grande $rho^2<=rho^6$.
Infine noti che $cos^2 theta+sin^4 theta>0$ per ogni $theta$.
(Sto facendo a occhio, in teoria dovrebbe venire)
Poi usi $sinhx>=x$ per $x>=0$, e per $rho$ abbastanza grande $rho^2<=rho^6$.
Infine noti che $cos^2 theta+sin^4 theta>0$ per ogni $theta$.
(Sto facendo a occhio, in teoria dovrebbe venire)
Quindi una cosa del genere:
$f(x,y)>=-pi/2+12rho^2cos^2theta+rho^6sin^6theta$. Ora quindi definitivamente $rho^6>=rho^2$(o magari potrei mettere $rho^6>=rho^2-1$), quindi continuando la catena di disuguaglianze: $>=-pi/2+p^2(12cos^2theta+sin^6theta)$, dove la funzione $g(theta)=12cos^2theta+sin^6theta $ ammette un minimo $m>0$; da cui l'esistenza del limite che vale $+ infty$
Invece il ragionamento del secondo punto...anche lì c'è qualcosa che non va ??
$f(x,y)>=-pi/2+12rho^2cos^2theta+rho^6sin^6theta$. Ora quindi definitivamente $rho^6>=rho^2$(o magari potrei mettere $rho^6>=rho^2-1$), quindi continuando la catena di disuguaglianze: $>=-pi/2+p^2(12cos^2theta+sin^6theta)$, dove la funzione $g(theta)=12cos^2theta+sin^6theta $ ammette un minimo $m>0$; da cui l'esistenza del limite che vale $+ infty$
Invece il ragionamento del secondo punto...anche lì c'è qualcosa che non va
??
Proverei con $(-t^3,t)$ con $t->0^+$. Hai calcolato il gradiente nell'origine? Deve fare 0, altrimenti non è minimo di sicuro
Il calcolo del gradiente l'ho evitato. Vedo che $(0,0)$ è stazionario dallo sviluppo di Taylor di $f(x,y)$.
Comunque sì, la tua scelta dovrebbe essere ottima. Io mi sono complicato la vita rischiando anche di aver fatto una cosa sbagliata xD.
Quindi l'origine non è massimo o minimo...grazieee!
Comunque sì, la tua scelta dovrebbe essere ottima. Io mi sono complicato la vita rischiando anche di aver fatto una cosa sbagliata xD.
Quindi l'origine non è massimo o minimo...grazieee!
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