Analisi max/min e dominio a partire da una funzione implicita
Ciao a tutti,
ho un problema su un esercizio sulla funzione implicita NON standard, cioè in cui applicare il teorema del Dini non serve a nulla...
L'esercizio è:
L'equazione \(\displaystyle xe^y+ye^x=0 \) definisce implicitamente un'unica funzione \(\displaystyle y=\varphi (x) \) definita su [0,+inf). Devo dire se le affermazioni di seguito sono vere o false:
1) \(\displaystyle \varphi \) ha un unico punto minimo assoluto in x=1;
2) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty } \varphi (x)=+\infty \)
Posto che comunque la funzione è C infinito e la derivata rispetto a y è diversa da 0 e che quindi Dini è applicabile non capisco come si possa determinare i punti estremanti non potendo ricavare una funzione esplicita...
Aiuti, consigli ?
Grazie
ho un problema su un esercizio sulla funzione implicita NON standard, cioè in cui applicare il teorema del Dini non serve a nulla...
L'esercizio è:
L'equazione \(\displaystyle xe^y+ye^x=0 \) definisce implicitamente un'unica funzione \(\displaystyle y=\varphi (x) \) definita su [0,+inf). Devo dire se le affermazioni di seguito sono vere o false:
1) \(\displaystyle \varphi \) ha un unico punto minimo assoluto in x=1;
2) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty } \varphi (x)=+\infty \)
Posto che comunque la funzione è C infinito e la derivata rispetto a y è diversa da 0 e che quindi Dini è applicabile non capisco come si possa determinare i punti estremanti non potendo ricavare una funzione esplicita...
Aiuti, consigli ?
Grazie
Risposte
Secondo me la seconda è falsa. La funzione $\phi$ parte in $(0,0)$ con derivata pari a $-1$ e non ha altre intersezioni con l'asse delle $x$, perché se $y=0$ l'equazione forza $x=0$. Perciò $\phi$ è sempre strettamente negativa, tranne che per $x=0$ dove è nulla.
Sulla prima, ho una idea di soluzione ma è meglio se ci ragioni tu. Io proverei prima di tutto a mostrare che il punto critico che si trova a $x=1$ è unico. Dopo ci saranno solo due possibilità: o quello è un minimo assoluto, oppure la funzione tende a ... per $x\to +\infty$.
Sulla prima, ho una idea di soluzione ma è meglio se ci ragioni tu. Io proverei prima di tutto a mostrare che il punto critico che si trova a $x=1$ è unico. Dopo ci saranno solo due possibilità: o quello è un minimo assoluto, oppure la funzione tende a ... per $x\to +\infty$.
Credo di aver risolto:
Per la prima sono riuscito a determinare che la derivata prima è monotona quindi esiste un unico punto di minimo o di massimo.
Poi ho determinato \(\displaystyle \varphi '(x) \) con dini (- derivata rispetto a x diviso derivata rispetto a y) e dato che la derivata rispetto a y è strettamente maggiore di zero allora ho che \(\displaystyle \varphi (x) \) è negativa o nulla come dicevi tu.
Ottengo:
\(\displaystyle \varphi '(x)=\frac{e^{\varphi(x)}(x-1)}{e^{\varphi(x)}+e^{x}} \)
denominatore sempre positivo, numeratore maggiore uguale a 0, x>=1 quindi 1 è un punto di minimo.
Il fatto che il limite non possa essere +inf è dovuto al fatto che il massimo valore che può assumere \(\displaystyle \varphi(x) \)è 0 quindi prima vera seconda falsa
Il risultato è corretto, lo svolgimento è giusto ?
grazie
Per la prima sono riuscito a determinare che la derivata prima è monotona quindi esiste un unico punto di minimo o di massimo.
Poi ho determinato \(\displaystyle \varphi '(x) \) con dini (- derivata rispetto a x diviso derivata rispetto a y) e dato che la derivata rispetto a y è strettamente maggiore di zero allora ho che \(\displaystyle \varphi (x) \) è negativa o nulla come dicevi tu.
Ottengo:
\(\displaystyle \varphi '(x)=\frac{e^{\varphi(x)}(x-1)}{e^{\varphi(x)}+e^{x}} \)
denominatore sempre positivo, numeratore maggiore uguale a 0, x>=1 quindi 1 è un punto di minimo.
Il fatto che il limite non possa essere +inf è dovuto al fatto che il massimo valore che può assumere \(\displaystyle \varphi(x) \)è 0 quindi prima vera seconda falsa
Il risultato è corretto, lo svolgimento è giusto ?
grazie
[list=1]
[*:1qlf6c64]Come hai dimostrato che la derivata prima è monotona? Ammesso che tu lo abbia fatto bene, è un conto grosso che non serve.
[/*:m:1qlf6c64]
[*:1qlf6c64]Il fatto che $x=1$ sia un minimo va bene. Dalla formula che hai trovato desumi subito che l'unico punto critico è per $x=1$ ed è quindi il minimo assoluto.
[/*:m:1qlf6c64]
[*:1qlf6c64]Il fatto che la funzione non possa tendere a $+\infty$ per $x\to +\infty$ va bene. [/*:m:1qlf6c64][/list:o:1qlf6c64]
[*:1qlf6c64]Come hai dimostrato che la derivata prima è monotona? Ammesso che tu lo abbia fatto bene, è un conto grosso che non serve.
[/*:m:1qlf6c64]
[*:1qlf6c64]Il fatto che $x=1$ sia un minimo va bene. Dalla formula che hai trovato desumi subito che l'unico punto critico è per $x=1$ ed è quindi il minimo assoluto.
[/*:m:1qlf6c64]
[*:1qlf6c64]Il fatto che la funzione non possa tendere a $+\infty$ per $x\to +\infty$ va bene. [/*:m:1qlf6c64][/list:o:1qlf6c64]
Sono partito da:
\(\displaystyle Fx_{0}: y\mapsto x_{0}e^{y}+ye^{x_{0}} \)
dato che il problema dice che x va da 0 a +inf:
\(\displaystyle F'x_{0}(y)\geq 0 \)
quindi la \(\displaystyle \varphi(x) \) è crescente quindi monotona....
\(\displaystyle Fx_{0}: y\mapsto x_{0}e^{y}+ye^{x_{0}} \)
dato che il problema dice che x va da 0 a +inf:
\(\displaystyle F'x_{0}(y)\geq 0 \)
quindi la \(\displaystyle \varphi(x) \) è crescente quindi monotona....
Noo aspetta mi sa che qua stai sbagliando di brutto. Peccato, il resto dell'esercizio sta bene. Chi sarebbe monotona, $phi$ o $phi'$?
La \(\displaystyle \varphi \) ....
Premetto che c'è stata una lezione in cui molto velocemente la profe era giunta ad una conclusione simile per un problema analogo ma se sto sbagliando completamente mi piacerebbe capire come si dimostra la monotonia a 'sto punto.
Premetto che c'è stata una lezione in cui molto velocemente la profe era giunta ad una conclusione simile per un problema analogo ma se sto sbagliando completamente mi piacerebbe capire come si dimostra la monotonia a 'sto punto.
E mica è monotona, scusa. Abbiamo detto che in $0$ vale $0$, poi è negativa, raggiunge un minimo e poi cresce per tendere verso $0$. Ma lo hai detto tu stesso, quando hai studiato il segno della derivata prima per stabilire che in $x=1$ c'è un minimo.
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