Analisi Matematica: Calcolo Differenziale
Salve a tutti, sono nuova, ma presa dalla disperazione non sapevo dove trovare qualcuno che mi potesse aiutare e ho trovato questo forum.
Partendo dal presupposto che secondo me i matematici sono una sorta di setta segreta in quanto rivelano le cose solo in parte, vi pongo un problema banale, ma che per me non lo è in quanto non conosco le proprietà di base.
Dunque, io devo risolvere un equazione del tipo xlogx=0 con x appartenente a I = (1/2,2) e non mi riesce. Mi spiegate come si fa?
Seconda cosa non capisco perchè la derivata che è 1+logx è maggiore di 0 per x>e alla -1 (come si trova questa affermazione?)
Grazie!
Partendo dal presupposto che secondo me i matematici sono una sorta di setta segreta in quanto rivelano le cose solo in parte, vi pongo un problema banale, ma che per me non lo è in quanto non conosco le proprietà di base.
Dunque, io devo risolvere un equazione del tipo xlogx=0 con x appartenente a I = (1/2,2) e non mi riesce. Mi spiegate come si fa?
Seconda cosa non capisco perchè la derivata che è 1+logx è maggiore di 0 per x>e alla -1 (come si trova questa affermazione?)
Grazie!
Risposte
Devi risolvere $x\ln(x)=0$, per la legge di annullamento del prodotto l'uguaglianza è soddisfatta se almeno uno dei fattori è zero. Porre il primo fattore uguale a zero significherebbe avere $x=0$, ma in questo caso il logaritmo non avrebbe senso, inoltre $0$ non + nell'intervallo che hai detto. La soluzione si trova quindi ponendo $\ln(x)=0$, cioè $x=1$, questa è la soluzione.
Se devi risolvere $\ln(x)>(-1)$, basta osservare che l'esponenziale con base $e$ è una funzione monotona crescente, quindi si può applicare l'esponenziale ad ambo i membri e mantenere il verso della disequazione, quindi si ottiene $e^{\ln(x)}>e^{-1}$, cioè $x>e^{-1}$.
Dimenticavo: benvenuta
Se devi risolvere $\ln(x)>(-1)$, basta osservare che l'esponenziale con base $e$ è una funzione monotona crescente, quindi si può applicare l'esponenziale ad ambo i membri e mantenere il verso della disequazione, quindi si ottiene $e^{\ln(x)}>e^{-1}$, cioè $x>e^{-1}$.
Dimenticavo: benvenuta
Grazie, detto da te sembra così facile 
Adesso ci penso su un attimo!
Presto penso che ricomparirò per qualche altra domandina
Adesso ci penso su un attimo!
Presto penso che ricomparirò per qualche altra domandina
Ho editato il messaggio inserendo anche la seconda parte.
Ho capito.
La domanda che ti ho fatto era di chiarimeto sullo svolgimento di un esercizio, quello che dico io...
non poteva scrivere direttamente che lnx è crescente per x>1? Perchè deve metterci la e di mezzo?
La domanda che ti ho fatto era di chiarimeto sullo svolgimento di un esercizio, quello che dico io...
non poteva scrivere direttamente che lnx è crescente per x>1? Perchè deve metterci la e di mezzo?
La funzione $\ln(x)$ è crescente sempre, ma la disequazione $1+\ln(x)$ è soddisfatta solo per $x > e^{-1}$.
si, questo è quello che c'è scritto nella soluzione, ma quello che mi chiedo io è PERCHE'?
Scusa ma sono un pò dura!
Scusa ma sono un pò dura!
Non ti devi scusare di nulla, ci mancherebbe!
Tu devi risolvere la disequazione $1+\ln(x)>0$, ovvero $\ln(x)>(-1)$. Ora per poter eliminare il logaritmo a sinistra si applica l'esponenziale a entrambi i membri, così si ottiene questa espressione:
$e^{\ln(x)}>e^{-1}$
Il verso della disequazione è rimasto lo stesso perché l'esponenziale con base $e$ è una funzione monotona crescente.
$e^{\ln(x)}$, proprio per definizione di logaritmo, vale $x$, la parte a destra si lascia così com'è, la soluzione quindi è:
$x>e^{-1}$
Hai ancora qualche dubbio? Dillo pure senza nessun problema...
Tu devi risolvere la disequazione $1+\ln(x)>0$, ovvero $\ln(x)>(-1)$. Ora per poter eliminare il logaritmo a sinistra si applica l'esponenziale a entrambi i membri, così si ottiene questa espressione:
$e^{\ln(x)}>e^{-1}$
Il verso della disequazione è rimasto lo stesso perché l'esponenziale con base $e$ è una funzione monotona crescente.
$e^{\ln(x)}$, proprio per definizione di logaritmo, vale $x$, la parte a destra si lascia così com'è, la soluzione quindi è:
$x>e^{-1}$
Hai ancora qualche dubbio? Dillo pure senza nessun problema...
Ok, questo l'ho capito. Adesso ho un'altra domanda:
io ho da risolvere il limite scritto sulla prima riga, perchè devo fare quei passaggi?
io ho da risolvere il limite scritto sulla prima riga, perchè devo fare quei passaggi?
Facendo quei passaggi ti riconduci a dei limiti notevoli, infatti, per $x \rightarrow 0$, si ha:
$\sin(x) \rightarrow 0$
$(1+\sin^2(x))^{\frac{1}{\sin^2(x)}} \rightarrow e$ (dal limite notevole $\lim_{t \rightarrow 0}(1+\frac{1}{t})^t=e$)
$\frac{\sin^2(x)}{x^2} \rightarrow 1$ (dal limite notevole $\lim_{t \rightarrow 0}\frac{\sin(t)}{t}=1$)
$\frac{x^2}{e^{x^2-1}} \rightarrow 1$ (dal limite notevole $\lim_{t \rightarrow 0}\frac{e^t-1}{t}=1$)
$\sin(x) \rightarrow 0$
$(1+\sin^2(x))^{\frac{1}{\sin^2(x)}} \rightarrow e$ (dal limite notevole $\lim_{t \rightarrow 0}(1+\frac{1}{t})^t=e$)
$\frac{\sin^2(x)}{x^2} \rightarrow 1$ (dal limite notevole $\lim_{t \rightarrow 0}\frac{\sin(t)}{t}=1$)
$\frac{x^2}{e^{x^2-1}} \rightarrow 1$ (dal limite notevole $\lim_{t \rightarrow 0}\frac{e^t-1}{t}=1$)
ecco! mi mancavano il secondo e il quarto
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