Analisi matematica B Calcolo del potenziale di F
Ciao a tutti ho alcuni dubbi in merito al calcolo del potenziale in un esercizio simile a questo:
Siano A={(x,y)appartenente a R^2: x>y} e A in R^2 il campo vettoriale definito da
$ F (x,y)=(-y)/root(2)(x-y) i+(3y-2x)/root(2)(x-y) j $
determinare il potenziale φ di F che vale 3 in (6,0).
Allora da quello che ho capito io e che ho potuto leggere sul libro di testo so che devo prendere la componente Fx e integrarla rispetto a dx e quella di dy rispetto a dy trovando così due risultati con le relative costanti. Devo poi uguagliare le costanti e vedere quando sono uguali???
Qualcuno saprebbe darmi chiarimenti grazie mille
Siano A={(x,y)appartenente a R^2: x>y} e A in R^2 il campo vettoriale definito da
$ F (x,y)=(-y)/root(2)(x-y) i+(3y-2x)/root(2)(x-y) j $
determinare il potenziale φ di F che vale 3 in (6,0).
Allora da quello che ho capito io e che ho potuto leggere sul libro di testo so che devo prendere la componente Fx e integrarla rispetto a dx e quella di dy rispetto a dy trovando così due risultati con le relative costanti. Devo poi uguagliare le costanti e vedere quando sono uguali???
Qualcuno saprebbe darmi chiarimenti grazie mille
Risposte
Sì. più precisamente dovresti prima controllare che F(x,y) sia continuo in A (lo è). Comunque trovi $Phi$ rispetto a una delle 2 componenti di F(x,y) più una certa costante, poi derivi e cerchi appunto di eguagliarla all' altra comnente del campo vettoriale. Una volta trovato il potenziale, aggiunsterai la costante che ti resta per verificare l' ultima richiesta.
Dunque devo quindi fare
come prima cosa controllare se è continua nel punto nel mio caso(6,0)
integrale della componente i che avrà un risultato per esempio A+c
integrale della componente j che avrà un risultato per esempio B+c1
dopo di che (correggimi se sbaglio) devo derivare A e B così da avere il potenziale quindi impongo che in A(in 6) e B(in 0) entrambe debbano valere 3 giusto cosi da trovare la costante che mi soddisfi la condizione?
grazie per i chiarimenti
come prima cosa controllare se è continua nel punto nel mio caso(6,0)
integrale della componente i che avrà un risultato per esempio A+c
integrale della componente j che avrà un risultato per esempio B+c1
dopo di che (correggimi se sbaglio) devo derivare A e B così da avere il potenziale quindi impongo che in A(in 6) e B(in 0) entrambe debbano valere 3 giusto cosi da trovare la costante che mi soddisfi la condizione?
grazie per i chiarimenti
no, il potenziale di F non è la derivata di A, altrimenti ritroveresti la componente di F che hai integrato precedentemente per trovare A.
Devi prima integrare una delle componenti di F, ad esempio $F_i$ cioè la componente $i$, otterrai A + k1. poi derivi quest' ultima rispetto all' altra variabile, in questo caso $y$ se la associamo a $j$, e devi avere che questa derivata è uguale ad $F_j$ per l' unicità per pontenziale.
Quindi = $A' + k_1' = F_j$
A questo punto hai vari casi, ti faccco qualche esempio: se $A' = F_j$, allora $k_1' = 0$ cioè il suo integrale è una costante. T ritrovi allora che il tuo potenziale è proprio A, più una certa costante che trovi imponendo $A(6,0) + k = 3$
ok ?
Devi prima integrare una delle componenti di F, ad esempio $F_i$ cioè la componente $i$, otterrai A + k1. poi derivi quest' ultima rispetto all' altra variabile, in questo caso $y$ se la associamo a $j$, e devi avere che questa derivata è uguale ad $F_j$ per l' unicità per pontenziale.
Quindi = $A' + k_1' = F_j$
A questo punto hai vari casi, ti faccco qualche esempio: se $A' = F_j$, allora $k_1' = 0$ cioè il suo integrale è una costante. T ritrovi allora che il tuo potenziale è proprio A, più una certa costante che trovi imponendo $A(6,0) + k = 3$
ok ?
più o meno ci sono prendiamo il mio caso io ho fatto così
1) ho integrato la componente di i1 in dx ottenendo $ -2/3*y root(2)((x-y)^3) +c $ ;
2)ho derivato il mio risultato rispetto a dy ottenendo $ -2/3*( root(2)((x-y)^3)+2/3y*1/root(3)((x-y))) $
3) adesso la mia derivata ovvero quella del punto 2) + la costante c deve essere uguale alla componente i2, ma nel mio caso come faccio a risolvere che la 2)+c sia uguale alla componente i1???
ipotizzando comunque di riuscire a trovare c, poi devo sostituire (6,0) nella 1) più la costante c che ho trovato e vedere quando valgono 3???
grazie infinite della tua pazienza.
1) ho integrato la componente di i1 in dx ottenendo $ -2/3*y root(2)((x-y)^3) +c $ ;
2)ho derivato il mio risultato rispetto a dy ottenendo $ -2/3*( root(2)((x-y)^3)+2/3y*1/root(3)((x-y))) $
3) adesso la mia derivata ovvero quella del punto 2) + la costante c deve essere uguale alla componente i2, ma nel mio caso come faccio a risolvere che la 2)+c sia uguale alla componente i1???
ipotizzando comunque di riuscire a trovare c, poi devo sostituire (6,0) nella 1) più la costante c che ho trovato e vedere quando valgono 3???
grazie infinite della tua pazienza.
l' integrale fi F1 è $-2ysqrt(x - y) + c$
sbagliavo a calcolare l'integrale ecco perchè non riuscivo a fare niente perchè utilizzando il tuo risultato mi esce che la costante è uguale a 3 che è il risultato dell'esercizio......grazie per la spiegazione 
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