[Analisi Matematica 2] Massimi e minimi di una funzione a due variabili
Buon giorno, avrei bisogno di aiuto per determinare i punti di massimo e di minimo relativo e assoluto della funzione
$ f(x,y)=(x^2 -y)/(sqrt(x^2 -y^2)) $
Ho già trovato i punti stazionari ponendo le derivate parziali uguale a zero e sono (1,1) e (-1,1) (se non sono errati)
Grazie in anticipo
$ f(x,y)=(x^2 -y)/(sqrt(x^2 -y^2)) $
Ho già trovato i punti stazionari ponendo le derivate parziali uguale a zero e sono (1,1) e (-1,1) (se non sono errati)
Grazie in anticipo
Risposte
Le derivate parziali risultano
$$f_x=\frac{x(x^2-2y^2+y)}{(x^2-y^2)^{3/2}},\qquad f_y=\frac{x^2(y-1)}{(x^2-y^2)^{3/2}}$$
Osserva che il dominio della funzione è dato dalla condizione $x^2-y^2>0$, che graficamente ai due spazi compresi tra le rette $x\pm y=0$ che contengono i punti di coordinate $(\pm 1,0)$ (le rette individuano 4 spazi). Ora, ponendo uguali a zero le derivate si ha il sistema
$$x(x^2-2y^2+y)=0,\qquad x^2(y-1)=0$$
Dalla seconda si ha che: se $x=0$ allora anche la prima è verificata, se $y=1$ allora deve essere $x(x^2-1)=0$ le cui soluzioni sono $x=0,\ x=\pm 1$. Ne segue che i punti stazionari sono
$$(0,a),\ a\in\mathbb{R},\quad (\pm 1, 1)$$
Tuttavia, nessuno di questi punti appartiene al dominio, per cui non vi sono punti stazionari accettabili.
$$f_x=\frac{x(x^2-2y^2+y)}{(x^2-y^2)^{3/2}},\qquad f_y=\frac{x^2(y-1)}{(x^2-y^2)^{3/2}}$$
Osserva che il dominio della funzione è dato dalla condizione $x^2-y^2>0$, che graficamente ai due spazi compresi tra le rette $x\pm y=0$ che contengono i punti di coordinate $(\pm 1,0)$ (le rette individuano 4 spazi). Ora, ponendo uguali a zero le derivate si ha il sistema
$$x(x^2-2y^2+y)=0,\qquad x^2(y-1)=0$$
Dalla seconda si ha che: se $x=0$ allora anche la prima è verificata, se $y=1$ allora deve essere $x(x^2-1)=0$ le cui soluzioni sono $x=0,\ x=\pm 1$. Ne segue che i punti stazionari sono
$$(0,a),\ a\in\mathbb{R},\quad (\pm 1, 1)$$
Tuttavia, nessuno di questi punti appartiene al dominio, per cui non vi sono punti stazionari accettabili.
Quindi la funzione non possiede punti di massimo e di minimo relativo o assoluto, giusto?
Pare proprio di no.
Grazie per l'aiuto
Poichè di tale funzione devo anche determinare i punti di massimo e minimo relativo o assoluto ristretta al triangolo di vertici (2,0), (2,1), (3,0), come dovrei procedere?
Ti consiglio di fare così; parametrizza i tre lati del triangolo con delle parametrizzazioni $(x(t),y(t))$, sostituisci nella funzione, così da ottenere funzioni di una variabile, e verifica cosa accade su ogni lato.
Grazie mille!
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